Z dzieleniem wielomianów związane jest twierdzenie Bezouta opisujące zależność między pierwiastkami wielomianu, a czynnikami występującymi w jego rozkładzie.
Każdy wielomian można rozłożyć na czynniki. Przypomnijmy:
Twierdzenie: Dla danych wielomianów \(W(x)\) i \(Q(x)\), gdzie \(Q(x)\) nie jest wielomianem zerowym, istnieją wielomiany \(P(x)\) i \(R(x)\) takie, że zachodzi
\(W(x) = P(x) \cdot Q(x) + R(x)\), przy czym \(R(x)\) jest wielomianem zerowym lub stopień wielomianu \(P(x)\) jest mniejszy od stopnia wielomianu \(R(x)\).
Prawdziwe jest także następujące twierdzenie.
Twierdzenie: Jeśli \(R(x)\) jest resztą z dzielenia wielomianu \(W(x)\) przez dwumian \(x - a\), to \(R(x) = W(a)\).
Po tych wstępnych rozważaniach możemy przejść do właściwego twierdzenia.
Twierdzenie Bezouta: Liczba \(a\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez dwumian \(x - a\).
Dowód:
Dowód \( \Rightarrow \)
Załóżmy, że liczba \(a\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\) - zatem \(W(a) = 0\). Z twierdzenia o rozkładzie wielomianu wynika, że istnieją: wielomian \(P(x)\) oraz stała \(R(x)\) takie, że \(W(x) = P(x) \cdot (x-a) + R(x)\).
Podstawmy za \(x\) wartość \(a\). Wtedy:
\(W(a) = P(a)(a-a) + R(x) = R(x)\).
Ponieważ \(W(a) = 0\), zatem \(R(x) = 0\), co oznacza, że wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez \(x - a\) bez reszty.
Dowód \( \Leftarrow \)
Załóżmy, że wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez \(x - a\) bez reszty - zatem istnieje wielomian \(P(x)\) taki, że \(W(x) = P(x) \cdot (x-a)\). Wówczas \(W(a) = P(a)(a-a) = 0\), czyli \(a\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\).
Co było do udowodnienia.