Twierdzenie Bezouta

Z dzieleniem wielomianów związane jest twierdzenie Bezouta opisujące zależność między pierwiastkami wielomianu, a czynnikami występującymi w jego rozkładzie.

 

Każdy wielomian można rozłożyć na czynniki. Przypomnijmy:

Twierdzenie: Dla danych wielomianów \(W(x)\) i \(Q(x)\), gdzie \(Q(x)\) nie jest wielomianem zerowym, istnieją wielomiany \(P(x)\)\(R(x)\) takie, że zachodzi

\(W(x) = P(x) \cdot Q(x) + R(x)\), przy czym \(R(x)\) jest wielomianem zerowym lub stopień wielomianu \(P(x)\) jest mniejszy od stopnia wielomianu \(R(x)\).

 

Prawdziwe jest także następujące twierdzenie.

Twierdzenie: Jeśli \(R(x)\) jest resztą z dzielenia wielomianu \(W(x)\) przez dwumian \(x - a\), to \(R(x) = W(a)\).

 

Po tych wstępnych rozważaniach możemy przejść do właściwego twierdzenia. 

 

Twierdzenie Bezouta: Liczba \(a\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez dwumian \(x - a\).

 

Dowód:

Dowód \( \Rightarrow \)

Załóżmy, że liczba \(a\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\) - zatem \(W(a) = 0\). Z twierdzenia o rozkładzie wielomianu wynika, że istnieją: wielomian \(P(x)\) oraz stała \(R(x)\) takie, że \(W(x) = P(x) \cdot (x-a) + R(x)\).

Podstawmy za \(x\) wartość \(a\). Wtedy:

\(W(a) = P(a)(a-a) + R(x) = R(x)\).

Ponieważ \(W(a) = 0\), zatem \(R(x) = 0\), co oznacza, że wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez \(x - a\) bez reszty.

Dowód \( \Leftarrow \)

Załóżmy, że wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez \(x - a\) bez reszty - zatem istnieje wielomian \(P(x)\) taki, że \(W(x) = P(x) \cdot (x-a)\). Wówczas \(W(a) = P(a)(a-a) = 0\), czyli \(a\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\).

Co było do udowodnienia. 

Polecamy również:

  • Dodawanie wielomianów

    Jedną z podstawowych operacji, jakie możemy wykonywać na wielomianach, jest ich dodawanie. Dodawanie wielomianów polega na sumowaniu współczynników stojących przy odpowiednich potęgach.  Więcej »

  • Mnożenie wielomianów

    Kolejną operacją, którą można wykonywać na wielomianach, jest ich mnożenie. Więcej »

  • Dzielenie wielomianów

    Dzielenie wielomianów jest operacją, która znajduje zastosowanie w rozkładaniu wielomianu na czynniki, co jest jednym z etapów rozwiązywania równań wielomianowych. Więcej »

  • Równość wielomianów

    Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i ich współczynniki przy tych samych potęgach są równe. Więcej »

  • Rozkład wielomianu na czynniki

    Zajmując się wielomianami często stajemy przed koniecznością rozłożenia wielomianu na czynniki... Więcej »

Komentarze (0)
Wynik działania 5 + 2 =
Ostatnio komentowane
Ez
• 2025-04-07 14:53:18
AAAA
• 2025-04-06 10:59:03
,m
• 2025-04-06 09:43:25
gg
• 2025-04-04 16:49:00
Może być
• 2025-03-27 18:35:05