Rozwinięcie Laplace'a

Rozwinięcie Laplace'a jest metodą pozwalającą liczyć wyznaczniki.

Możemy dzięki niemu obliczać wyznaczniki dowolnego stopnia - w szczególności umożliwia ono liczenie wyznaczników stopnia wyższego niż trzy oraz zdarza się, że upraszcza liczenie wyznaczników stopnia trzeciego.

W tej metodzie liczenie wyznaczników danego stopnia sprowadzamy do pewnej sumy wyznaczników niższych stopni. W tym celu posługujemy się tak zwanymi dopełnieniami algebraicznymi. Przytoczmy niezbędne definicje.

Minor macierzy - definicja

Minor \mathbf{M_{ij}} macierzy \mathbf{A}=[a_{ij}}]_{n \times n} jest to wyznacznik powstały z macierzy \mathbf{A} poprzez wykreślenie i-tego wiersza oraz j-tej kolumny.

Minor jest zatem wyznacznikiem macierzy stopnia n-1.

Dopełnienie algebraiczne - definicja

Dopełnienie algebraiczne \mathbf{A_{ij}} elementu a_{ij} macierzy \mathbf{A}=[a_{ij}}]_{n \times n} jest określone wzorem

\mathbf{A_{ij}}=(-1)^{i+j} \cdot \mathbf{M_{ij}}.

A zatem dopełnienie algebraiczne jest iloczynem odpowiedniego minora z minus jedynką do potęgi będącej sumą indeksów danego minora.

Rozwinięcie Laplace'a - definicja

Rozwinięcie Laplace'a dla macierzy \mathbf{A}=[a_{ij}}]_{n \times n} umożliwia obliczenie wyznacznika tej macierzy według następującego wzoru:

\det \mathbf{A}= \sum_{k =1}^{n} a_{ik} \mathbf{A _{ik}} (rozwinięcie względem i-tego wiersza),

\det \mathbf{A}= \sum_{k =1}^{n} a_{kj} \mathbf{A _{kj}} (rozwinięcie względem j-tej kolumny).

Przeanalizujmy to na przykładzie.

Przykład:

Niech dana będzie macierz \mathbf {A}=

\left[ \begin{array}{ccc}
2 & 3 & 2 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 3
\end{array} \right].

Policzymy jej

Polecamy również:

Komentarze (1)
Wynik działania 2 + 1 =
Paulinka
2020-02-09 01:01:42
W pierwszym przykładzie dotyczącym obliczania wyznacznika macierzy 3-ego stopnia jest błąd. Wynik końcowy powinien wynosić -6, a nie 6 :)
Ostatnio komentowane
po jakiego uda ktoś to wymyślał
czarnypjes • 2021-10-17 16:53:04
doobry artykuł
Jan Marcalik • 2021-10-15 16:22:46
XD
Xd • 2021-10-15 13:34:06
Es
Olek • 2021-10-15 13:30:44