Strona główna

/

Zadania

/

Matematyka

/

Liceum

Wyznaczanie wyrazów ciągu geometrycznego

1. Oblicz wyrazy $a_3,\ a_7,\ a_8$ ciągu geometrycznego $(a_n)$ , jeśli $a_1=2, \ q=\sqrt[]{3}$ .

2. Oblicz iloraz ciągu geometrycznego, wiedząc, że jego dwa kolejne wyrazy to $5, \hspace{5pt} 2\sqrt[]{2}$ .

3. Oblicz czwarty wyraz ciągu geometrycznego $(a_n)$ , jeśli $a_1=9, \hspace{10pt} q=\frac{1}{3}$ .

4. Wyznacz ciąg geometryczny $(a_n)$ , jeśli $a_7=2, \hspace{10pt} a_{12}=64$ .

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl

16.04.2020 10:16

1. Zapisujemy wzór rekurencyjny ciągu geometrycznego o ilorazie $q=\sqrt[]{3}$ .

$a_{n+1}=a_n\cdot q=a_n\cdot \sqrt[]{3}$

Obliczamy kolejne wyrazy, za każdym razem mnożąc poprzedni wyraz przez $q$ . Otrzymujemy ciąg

$2, \hspace{5pt} 2\sqrt[]{3}, \hspace{5pt} 2\sqrt[]{3} \cdot \sqrt[]{3}=6, \hspace{5pt} 6\sqrt[]{3},$ $\hspace{5pt} 6\sqrt[]{3}\cdot\sqrt[]{3}=18, \hspace{5pt} 18\sqrt[]{3}, \hspace{5pt} 18\sqrt[]{3}\cdot \sqrt[]{3}=54, \hspace{5pt} 54\sqrt[]{3},\ \ldots$

Znajdujemy odpowiednie wyrazy $a_3=6, \hspace{10pt} a_7=54, \hspace{10pt} a_8=54\sqrt[]{3}$ .

2. Iloraz ciągu geometrycznego $(a_n)$ otrzymujemy obliczając iloraz $\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$ . W zadaniu mamy podane dwa kolejne wyrazy, zatem musimy obliczyć ich iloraz

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{5}{2\sqrt[]{2}}$

Usuwamy niewymierność z mianownika i otrzymujemy wynik

$q=\frac{5\cdot \sqrt[]{2}}{2\sqrt[]{2}\cdot \sqrt[]{2} }= \frac{5\sqrt[]{2}}{4}$

Odp. Iloraz ciągu $(a_n)$ wynosi $\frac{5\sqrt[]{2}}{4}$ .

3. Zapisujemy wzór ogólny ciągu geometrycznego

$a_n=a_1\cdot q^{n-1} = 9 \cdot (\frac{1}{3})^{n-1}$

Chcemy obliczyć czwarty wyraz podanego ciągu, dlatego za $n$ podstawiamy $4$ .

$a_4=9 \cdot (\frac{1}{3})^4 = 9\cdot \frac{1}{81} = \frac{1}{9}$

Odp. Czwarty wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy $\frac{1}{9}$ .

4. Korzystając ze wzoru ogólnego na n-ty wyraz ciągu geometrycznego

$a_n=a_1 \cdot q^{n-1}$ ,

podstawiając odpowiednie wartości n ( $n=6 \hspace{10pt} \text{oraz} \hspace{10pt} n=11$ ), zapisujemy układ równań.

$\left\{ \begin{array}{l} a_1\ q^6\ =\ 2\\ a_1 \ q^{11}\ =\ 64\\ \end{array} \right.$

Rozpisujemy drugie równanie i podstawiamy wartości znane z równania pierwszego

$a_1\ q^{11} = a_1 \ q^6 \cdot q^5\ =\ 2q^5 = 64$

Przekształcamy równanie, dzieląc obie strony przez 2 i szukamy pierwiastka piątego stopnia z otrzymanej liczby.

$2\ q^5 \ =\ 64$

$q^5\ =\ 32$

$q=2$

Wstawiamy obliczony iloraz do pierwszego równania układu i otrzymujemy wartość pierwszego wyrazu rozważanego ciągu.

$a_1\ q^6 = 2$

$a_1 \cdot 2^6 = 2$

$a_1=\frac{2}{64}$

$a_1=\frac{1}{32}$

Możemy teraz zapisać wzór ogólny ciągu geometrycznego $(a_n)$ .

$a_n=a_1\ \cdot \ q^{n-1} \ =\ \frac{1}{32} \ \cdot \ 2^{n-1}$ $= \frac{2^{n-1}}{2^5}=2^{n-1-5}=2^{n-6}$

Odp. Wzór ogólny podanego ciągu wyraża się wzorem $a_n=2^{n-6}$ .

Dzięki! 1

Znasz odpowiedź na to pytanie?

Wszystkie odpowiedzi (0)

Rozwiąż również: