Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Wyznaczanie wyrazów ciągu geometrycznego

1. Oblicz wyrazy a_3,\ a_7,\ a_8 ciągu geometrycznego (a_n), jeśli  a_1=2, \ q=\sqrt[]{3}.

2. Oblicz iloraz ciągu geometrycznego, wiedząc, że jego dwa kolejne wyrazy to 5, \hspace{5pt} 2\sqrt[]{2}.

3. Oblicz czwarty wyraz ciągu geometrycznego (a_n), jeśli a_1=9, \hspace{10pt} q=\frac{1}{3}.

4. Wyznacz ciąg geometryczny (a_n), jeśli a_7=2, \hspace{10pt} a_{12}=64.

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl
16.04.2020 10:16

1. Zapisujemy wzór rekurencyjny ciągu geometrycznego o ilorazie q=\sqrt[]{3}.

a_{n+1}=a_n\cdot q=a_n\cdot \sqrt[]{3}

Obliczamy kolejne wyrazy, za każdym razem mnożąc poprzedni wyraz przez q. Otrzymujemy ciąg

2, \hspace{5pt} 2\sqrt[]{3}, \hspace{5pt} 2\sqrt[]{3} \cdot \sqrt[]{3}=6, \hspace{5pt} 6\sqrt[]{3},  \hspace{5pt} 6\sqrt[]{3}\cdot\sqrt[]{3}=18, \hspace{5pt} 18\sqrt[]{3}, \hspace{5pt} 18\sqrt[]{3}\cdot \sqrt[]{3}=54, \hspace{5pt} 54\sqrt[]{3},\  \ldots

Znajdujemy odpowiednie wyrazy a_3=6, \hspace{10pt} a_7=54, \hspace{10pt} a_8=54\sqrt[]{3}.

 

2. Iloraz ciągu geometrycznego (a_n) otrzymujemy obliczając iloraz \frac{a_{n+1}}{a_n}=q. W zadaniu mamy podane dwa kolejne wyrazy, zatem musimy obliczyć ich iloraz

\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{5}{2\sqrt[]{2}}

Usuwamy niewymierność z mianownika i otrzymujemy wynik

q=\frac{5\cdot \sqrt[]{2}}{2\sqrt[]{2}\cdot \sqrt[]{2} }= \frac{5\sqrt[]{2}}{4}

Odp. Iloraz ciągu (a_n) wynosi \frac{5\sqrt[]{2}}{4}.


3. Zapisujemy wzór ogólny ciągu geometrycznego

a_n=a_1\cdot q^{n-1} = 9 \cdot (\frac{1}{3})^{n-1}

Chcemy obliczyć czwarty wyraz podanego ciągu, dlatego za n podstawiamy 4.

a_4=9 \cdot (\frac{1}{3})^4 = 9\cdot \frac{1}{81} = \frac{1}{9}

Odp. Czwarty wyraz ciągu (a_n) jest równy \frac{1}{9}.


4. Korzystając ze wzoru ogólnego na n-ty wyraz ciągu geometrycznego

a_n=a_1 \cdot q^{n-1},

 

 podstawiając odpowiednie wartości n (n=6 \hspace{10pt} \text{oraz} \hspace{10pt} n=11), zapisujemy układ równań.

$$
\left\{ \begin{array}{l}
a_1\ q^6\ =\ 2\\
a_1 \ q^{11}\ =\ 64\\
\end{array} \right.
$$

Rozpisujemy drugie równanie i podstawiamy wartości znane z równania pierwszego 

a_1\ q^{11} = a_1 \ q^6 \cdot q^5\ =\ 2q^5 = 64

Przekształcamy równanie, dzieląc obie strony przez 2 i szukamy pierwiastka piątego stopnia z otrzymanej liczby.

2\ q^5 \ =\ 64

q^5\ =\ 32

q=2

Wstawiamy obliczony iloraz do pierwszego równania układu i otrzymujemy wartość pierwszego wyrazu rozważanego ciągu.

a_1\ q^6 = 2

a_1 \cdot 2^6 = 2

a_1=\frac{2}{64}

a_1=\frac{1}{32}

Możemy teraz zapisać wzór ogólny ciągu geometrycznego (a_n).

a_n=a_1\ \cdot \ q^{n-1} \ =\ \frac{1}{32} \ \cdot \ 2^{n-1}= \frac{2^{n-1}}{2^5}=2^{n-1-5}=2^{n-6}

Odp. Wzór ogólny podanego ciągu wyraża się wzorem a_n=2^{n-6}.



Dzięki! 1
Znasz odpowiedź na to pytanie?
Wynik działania 3 + 3 =
Wszystkie odpowiedzi (0)