Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Pochodna funkcji złożonej – przykłady, zadania

Oprócz podstawowych wzorów na pochodne i elementarnych zasad arytmetyki pochodnych istotnym narzędziem rachunku różniczkowego jest wzór na pochodną złożoną.

Funkcję nazywamy złożoną jeśli jej argumentem jest inna funkcja. Wówczas funkcję będącą argumentem nazywamy funkcją wewnętrzną, a tą, której jest ona argumentem - zewnętrzną.

Jeśli funkcja f ma pochodną w punkcie x, a funkcja g pochodną w punkcie f(x) to pochodną funkcji g(f(x)) liczymy jako g'(f(x))\cdot f'(x), tzn.

(g(f(x)))'=g'(f(x))\cdot f'(x).

 

Przykład:

Funkcja \sin(\cos x) jest złożeniem dwóch funkcji, zewnętrzną jest funkcja sinus, wewnętrzną zaś cosinus.

f(g(x)) = \sin(\cos x)

(g(f(x)))' = g'(f(x)) \cdot f'(x) = \sin'(\cos x) \cdot \cos'x =
\cos(\cos x) \cdot (- \sin x) = - \sin x \cos (\cos x)

 

Funkcja (\operator tg } x)^2 jest złożeniem funkcji \operator tg } t (wewnętrzna) i t^2 (zewnętrzna).

g(f(x)) = (\operator tg } x)^2

(g(f(x)))' = 2\cdot (\operator tg } x)^1 \cdot ( (\operator tg } x)' =
\frac {2\operator{ tg } x}{\cos^2 x}

 

Zadania:

Policzyć pochodne następujących funkcji:

a) f(x) = (3x+2)^5,

b) f(x) =  \sqrt{2x-4} ,

c) f(x) = \sin 4x.

 

Odpowiedzi:

a) f'(x) = 15(3x+2)^4,

b) f'(x) = \frac1{ \sqrt{2x-4} ,

c) f'(x) = 4\cos4x.

Zobacz również

Losowe zadania

  • Porównania

    Dokończ podane przykłady znanych porównań:   1. ____ jak rydz 2. blady jak ____ 3. ___ jak burak 4. ___jak kajaki 5. głupi jak ___ 6. trafić jak ____ w płot 7. ___ jak księżyc w pełni 8. strzelić jak ___ z jasnego nieba 9. spłynąć jak woda po ___ 10. piękny jak ___ bóg

    0 Odpowiedz Więcej
  • prędkość średnia

    Pewien niemiecki sportowiec biega z prędkością 72 km/h, zaś polski sportowiec biega z prędkością 40 m/s który z nich ma wieksza prędkość i w jakim czasie każdy z nim przebiegnie dystans 1000 m.

    0 Odpowiedz Więcej
  • Francesco Petrarka - życiorys

    Zdecyduj, które twierdzenia dotyczą biografii Francesca Petrarki.   1. Urodził się w Mediolanie. 2. Ukończył studia medyczne. 3. Po ukończeniu studiów został duchownym. 4. Miał dwoje nieślubnych dzieci. 5. Otrzymał laur poetycki. 6. Szczególnym uznaniem darzył pisma św. Augustyna. 7. W swojej twó...

    0 Odpowiedz Więcej
  • List oficjalny

    Napisz list oficjalny do dyrektora swojej szkoły z prośbą o możliwość zorganizowania akcji sprzątania przez uczniów terenów zielonych otaczających szkołę.

    1 Odpowiedz Więcej
  • Prędkość liniowa

    Jaka jest prędkość lioniowa piłki zawieszonej na nitce o dlugości 25 cm, i wprawionej w ruch jeżeli całkowity obrót następuje w ciągu 5 s?

    0 Odpowiedz Więcej
Komentarze (3)
Wynik działania 1 + 1 =
Szymon el grey
2019-05-07 19:12:22
siema wafelki
Mateusz
2019-02-06 17:24:10
Jest 15, a nie 5, bo trzeba pomnożyć przez pochodną funkcji wewnętrznej :) : [(3x+2)^5]'=5*(3x+2)^4*3=15(3x+2)^4
StudentSzczecin
2019-02-06 15:30:23
Dlaczego w przykładzie a) w odpowiedzi na początku jest 15 a nie 5?
Ostatnio komentowane
Pomylono kąty
dsf • 2020-06-22 16:11:37
wow
Kasia • 2020-06-17 11:55:30
jezu ale trudne
iwo • 2020-06-16 18:19:06
dzieki
halinka • 2020-06-15 11:00:28
Rzym podbity przez barbarzyńców powoli całkowicie zamierał. Styl romański jest uprosz...
Badacz wlotów i upadków cywilizacji • 2020-06-11 21:16:11