Oprócz podstawowych wzorów na pochodne i elementarnych zasad arytmetyki pochodnych istotnym narzędziem rachunku różniczkowego jest wzór na pochodną złożoną.
Funkcję nazywamy złożoną jeśli jej argumentem jest inna funkcja. Wówczas funkcję będącą argumentem nazywamy funkcją wewnętrzną, a tą, której jest ona argumentem - zewnętrzną.
Jeśli funkcja \(f\) ma pochodną w punkcie \(x\), a funkcja \(g\) pochodną w punkcie \(f(x)\) to pochodną funkcji \(g(f(x))\) liczymy jako \(g'(f(x))\cdot f'(x)\), tzn.
\((g(f(x)))'=g'(f(x))\cdot f'(x)\).
Przykład:
Funkcja \(\sin(\cos x)\) jest złożeniem dwóch funkcji, zewnętrzną jest funkcja sinus, wewnętrzną zaś cosinus.
\(f(g(x)) = \sin(\cos x)\)
\((g(f(x)))' = g'(f(x)) \cdot f'(x) = \sin'(\cos x) \cdot \cos'x = \cos(\cos x) \cdot (- \sin x) = - \sin x \cos (\cos x)\)
Funkcja \((\operator tg } x)^2\) jest złożeniem funkcji \(\operator tg } t\) (wewnętrzna) i \(t^2\) (zewnętrzna).
\(g(f(x)) = (\operator tg } x)^2\)
\((g(f(x)))' = 2\cdot (\operator tg } x)^1 \cdot ( (\operator tg } x)' = \frac {2\operator{ tg } x}{\cos^2 x}\)
Zadania:
Policzyć pochodne następujących funkcji:
a) \(f(x) = (3x+2)^5\),
b) \(f(x) = \sqrt{2x-4} \),
c) \(f(x) = \sin 4x\).
Odpowiedzi:
a) \(f'(x) = 15(3x+2)^4\),
b) \(f'(x) = \frac1{ \sqrt{2x-4} \),
c) \(f'(x) = 4\cos4x\).