Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Pochodna funkcji złożonej – przykłady, zadania

Ostatnio komentowane
3
21 • 2019-12-12 19:49:22
Jest błąd w treści na samym początku drugiej informacji na temat planet wewnętrznych,...
Xxd • 2019-12-12 18:54:28
Skomentuj tekst
Adam • 2019-12-12 15:03:55
Szkoda komentować...
Vaspov • 2019-12-12 14:21:30
"print(0);"
asd • 2019-12-12 06:48:04
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Oprócz podstawowych wzorów na pochodne i elementarnych zasad arytmetyki pochodnych istotnym narzędziem rachunku różniczkowego jest wzór na pochodną złożoną.

Funkcję nazywamy złożoną jeśli jej argumentem jest inna funkcja. Wówczas funkcję będącą argumentem nazywamy funkcją wewnętrzną, a tą, której jest ona argumentem - zewnętrzną.

Jeśli funkcja f ma pochodną w punkcie x, a funkcja g pochodną w punkcie f(x) to pochodną funkcji g(f(x)) liczymy jako g'(f(x))\cdot f'(x), tzn.

(g(f(x)))'=g'(f(x))\cdot f'(x).

 

Przykład:

Funkcja \sin(\cos x) jest złożeniem dwóch funkcji, zewnętrzną jest funkcja sinus, wewnętrzną zaś cosinus.

f(g(x)) = \sin(\cos x)

(g(f(x)))' = g'(f(x)) \cdot f'(x) = \sin'(\cos x) \cdot \cos'x =
\cos(\cos x) \cdot (- \sin x) = - \sin x \cos (\cos x)

 

Funkcja (\operator tg } x)^2 jest złożeniem funkcji \operator tg } t (wewnętrzna) i t^2 (zewnętrzna).

g(f(x)) = (\operator tg } x)^2

(g(f(x)))' = 2\cdot (\operator tg } x)^1 \cdot ( (\operator tg } x)' =
\frac {2\operator{ tg } x}{\cos^2 x}

 

Zadania:

Policzyć pochodne następujących funkcji:

a) f(x) = (3x+2)^5,

b) f(x) =  \sqrt{2x-4} ,

c) f(x) = \sin 4x.

 

Odpowiedzi:

a) f'(x) = 15(3x+2)^4,

b) f'(x) = \frac1{ \sqrt{2x-4} ,

c) f'(x) = 4\cos4x.

Polecamy również:

Komentarze (3)
1 + 5 =
Komentarze
Szymon el grey • 2019-05-07 19:12:22
siema wafelki
Mateusz • 2019-02-06 17:24:10
Jest 15, a nie 5, bo trzeba pomnożyć przez pochodną funkcji wewnętrznej :) : [(3x+2)^5]'=5*(3x+2)^4*3=15(3x+2)^4
StudentSzczecin • 2019-02-06 15:30:23
Dlaczego w przykładzie a) w odpowiedzi na początku jest 15 a nie 5?