Działania na pochodnych – wzory, przykłady, zadania

Liczenie pochodnych z definiji jest dosyć uciążliwe. Łatwo można natomiast wyprowadzić z definicji poniższe wzory na poszczególne pochodne:

 

\((c)'=0\)

\((x^n)'=nx^{n-1}\)

\((\sin x)' = \cos x\)

\((\cos x)' = -\sin x\)

\((\operator tg} x)' = \frac1{\cos^2x}\)

\((\operator ctg} x)' = \frac1{\sin^2x}\)

 

 (o ile wyrażenia mają sens, tzn. funkcje trygonometryczne są określone a mianowniki niezerowe)

 

Ponadto prawdziwe są także poniższe fakty dotyczące wykonywania działań na pochodnych:

\((c\cdot f(x))' = c \cdot f'(x)\)

\((f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)\)

\((f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\)

\((\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2\)

 

Zauważmy także, że \(( \sqrt{x} )' = (x^{\frac 12})' = \frac12 x^{-\frac 12} = \frac1{2 \sqrt{x} }\).

 

Przykład:

\(f(x) = 6x + 2\sin x - \sqrt{x} \)

\(f'(x) = (6x + 2\sin x - \sqrt{x} )'= (6x)' + (2\sin x)' - (\sqrt{x} )'= 6 + 2 \cos x- \frac1{2 \sqrt x}\)

 

\(f(x) = \operator tg } x\cdot \sqrt{x} \) 

\(f'(x) = (\operator tg } x\cdot \sqrt{x})' = (\operator tg } x)' \cdot \sqrt{x} + \operator tg } x\cdot (\sqrt{x})' = \frac1{\cos^2x}\cdot \sqrt{x} + \operator tg } x \cdot \frac1{2 \sqrt{x}}\)\(= \frac{ \sqrt{x}}{\cos^2x} + \frac{\operator tg } x}{2 \sqrt{x}}\)

 

\(f(x) = \frac{\cos x}{2x^2+3x}\) 

\(f'(x) = (\frac{\cos x}{2x^2+3x})' = \frac{(\cos x)'\cdot (2x^2+3x)-\cos x \cdot (2x^2+3x)'}{(2x^2+3x)^2} = \frac{- \sin x\cdot (2x^2+3x)-\cos x \cdot (4x+3)}{(2x^2+3x)^2}\) 

 

Zadanie:

Policzyć następujące pochodne:

a) \(f(x) = 3x^5 + 2x^2 - \frac1x\),

b) \(f(x) = \sin x + \cos x + \operator tg } x+ \operator ctg } x\),

c) \(f(x) = \frac{x^3+x^2-x-1}{x+1}\).

 

Odpowiedzi:

a) \(f'(x) = 15x^4+4x+\frac1{x^2}\),

b) \(f'(x) = \cos x - \sin x + \frac {1}{\cos^2x} - \frac1{\sin^2 x}\),

c) \(f'(x) = 2x\).

Polecamy również:

  • Pochodna z pierwiastka

    Spośród wielu różnych funkcji, których pochodne można policzyć, warto bliżej się przyjrzeć pochodnym funkcji, w których występują pierwiastki... Więcej »

  • Pochodna iloczynu

    Przyjrzyjmy się bliżej wzorowi na pochodną iloczynu. Wzór ten mówi nam jak liczyć pochodne w przypadku gdy różniczkowana funkcja jest iloczynem dwóch innych funkcji... Więcej »

  • Pochodna ilorazu

    Wzór na pochodną ilorazu jest podobny do wzoru na pochodną iloczynu. Podobnie jak przy pochodnej iloczynu liczymy pochodne obu funkcji występujących w początkowym wyrażeniu... Więcej »

Komentarze (0)
Wynik działania 4 + 3 =
Ostatnio komentowane
Niga
• 2025-02-17 12:10:09
Fajnie, dziękuję
• 2025-02-13 21:09:19
nie wiem po co takie łatwe działanie
• 2025-02-04 15:03:23
W planie wydarzeń punkt 1 i 2 powinny być zamienione miejscami.
• 2025-01-29 19:30:27
Jest tu zawarte wiele niezbędnych oraz interesujących informacji o twórcy i artyście jakim...
• 2025-01-26 10:13:01