Liczenie pochodnych z definiji jest dosyć uciążliwe. Łatwo można natomiast wyprowadzić z definicji poniższe wzory na poszczególne pochodne:
\((c)'=0\)
\((x^n)'=nx^{n-1}\)
\((\sin x)' = \cos x\)
\((\cos x)' = -\sin x\)
\((\operator tg} x)' = \frac1{\cos^2x}\)
\((\operator ctg} x)' = \frac1{\sin^2x}\)
(o ile wyrażenia mają sens, tzn. funkcje trygonometryczne są określone a mianowniki niezerowe)
Ponadto prawdziwe są także poniższe fakty dotyczące wykonywania działań na pochodnych:
\((c\cdot f(x))' = c \cdot f'(x)\)
\((f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)\)
\((f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\)
\((\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2\)
Zauważmy także, że \(( \sqrt{x} )' = (x^{\frac 12})' = \frac12 x^{-\frac 12} = \frac1{2 \sqrt{x} }\).
Przykład:
\(f(x) = 6x + 2\sin x - \sqrt{x} \)
\(f'(x) = (6x + 2\sin x - \sqrt{x} )'= (6x)' + (2\sin x)' - (\sqrt{x} )'= 6 + 2 \cos x- \frac1{2 \sqrt x}\)
\(f(x) = \operator tg } x\cdot \sqrt{x} \)
\(f'(x) = (\operator tg } x\cdot \sqrt{x})' = (\operator tg } x)' \cdot \sqrt{x} + \operator tg } x\cdot (\sqrt{x})' = \frac1{\cos^2x}\cdot \sqrt{x} + \operator tg } x \cdot \frac1{2 \sqrt{x}}\)\(= \frac{ \sqrt{x}}{\cos^2x} + \frac{\operator tg } x}{2 \sqrt{x}}\)
\(f(x) = \frac{\cos x}{2x^2+3x}\)
\(f'(x) = (\frac{\cos x}{2x^2+3x})' = \frac{(\cos x)'\cdot (2x^2+3x)-\cos x \cdot (2x^2+3x)'}{(2x^2+3x)^2} = \frac{- \sin x\cdot (2x^2+3x)-\cos x \cdot (4x+3)}{(2x^2+3x)^2}\)
Zadanie:
Policzyć następujące pochodne:
a) \(f(x) = 3x^5 + 2x^2 - \frac1x\),
b) \(f(x) = \sin x + \cos x + \operator tg } x+ \operator ctg } x\),
c) \(f(x) = \frac{x^3+x^2-x-1}{x+1}\).
Odpowiedzi:
a) \(f'(x) = 15x^4+4x+\frac1{x^2}\),
b) \(f'(x) = \cos x - \sin x + \frac {1}{\cos^2x} - \frac1{\sin^2 x}\),
c) \(f'(x) = 2x\).