1. Strona główna
    2. /
  2. Matematyka
    3. /
  3. Działania na pochodnych

Działania na pochodnych – wzory, przykłady, zadania

Liczenie pochodnych z definiji jest dosyć uciążliwe. Łatwo można natomiast wyprowadzić z definicji poniższe wzory na poszczególne pochodne:

 

(c)'=0

(x^n)'=nx^{n-1}

(\sin x)' = \cos x

(\cos x)' = -\sin x

(\operator tg} x)' = \frac1{\cos^2x}

(\operator ctg} x)' = \frac1{\sin^2x}

 

 (o ile wyrażenia mają sens, tzn. funkcje trygonometryczne są określone a mianowniki niezerowe)

 

Ponadto prawdziwe są także poniższe fakty dotyczące wykonywania działań na pochodnych:

(c\cdot f(x))' = c \cdot f'(x)

(f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)

(f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)

(\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2

 

Zauważmy także, że ( \sqrt{x} )' = (x^{\frac 12})' = \frac12 x^{-\frac 12} = \frac1{2 \sqrt{x} }.

 

Przykład:

f(x) = 6x + 2\sin x - \sqrt{x}

f'(x) = (6x + 2\sin x - \sqrt{x} )'= (6x)' + (2\sin x)' - (\sqrt{x} )'= 6 + 2 \cos x- \frac1{2 \sqrt x}

 

f(x) = \operator tg } x\cdot \sqrt{x}  

f'(x) = (\operator tg } x\cdot \sqrt{x})' = (\operator tg } x)' \cdot \sqrt{x} + \operator tg } x\cdot (\sqrt{x})' = \frac1{\cos^2x}\cdot \sqrt{x} + \operator tg } x \cdot \frac1{2 \sqrt{x}}= \frac{ \sqrt{x}}{\cos^2x} + \frac{\operator tg } x}{2 \sqrt{x}}

 

f(x) = \frac{\cos x}{2x^2+3x} 

f'(x) = (\frac{\cos x}{2x^2+3x})' = \frac{(\cos x)'\cdot (2x^2+3x)-\cos x \cdot (2x^2+3x)'}{(2x^2+3x)^2} = \frac{- \sin x\cdot (2x^2+3x)-\cos x \cdot (4x+3)}{(2x^2+3x)^2} 

 

Zadanie:

Policzyć następujące pochodne:

a) f(x) = 3x^5 + 2x^2 - \frac1x,

b) f(x) = \sin x + \cos x + \operator tg } x+ \operator ctg } x,

c) f(x) = \frac{x^3+x^2-x-1}{x+1}.

 

Odpowiedzi:

a) f'(x) = 15x^4+4x+\frac1{x^2},

b) f'(x) = \cos x - \sin x + \frac {1}{\cos^2x} - \frac1{\sin^2 x},

c) f'(x) = 2x.

Polecamy również:

  • Pochodna z pierwiastka

    Spośród wielu różnych funkcji, których pochodne można policzyć, warto bliżej się przyjrzeć pochodnym funkcji, w których występują pierwiastki... Więcej »

  • Pochodna iloczynu

    Przyjrzyjmy się bliżej wzorowi na pochodną iloczynu. Wzór ten mówi nam jak liczyć pochodne w przypadku gdy różniczkowana funkcja jest iloczynem dwóch innych funkcji... Więcej »

  • Pochodna ilorazu

    Wzór na pochodną ilorazu jest podobny do wzoru na pochodną iloczynu. Podobnie jak przy pochodnej iloczynu liczymy pochodne obu funkcji występujących w początkowym wyrażeniu... Więcej »

Zobacz również

Losowe zadania

Komentarze (0)
Wynik działania 4 + 4 =
Ostatnio komentowane
Dowód nie wprost
bazinga
• 2024-09-12 14:55:28
Wojna chłopska w Niemczech (1524-1526)
Dodajmy, że było to również ostatnie powstanie wendyjskie (słowiańskie) na terenie N...
• 2024-09-04 21:32:33
Idiota – streszczenie
DZIĘKUJĘ
• 2024-07-31 13:21:34
Najazdy barbarzyńców na Rzym
I cóż miał rację Marek Aureliusz który chciał podbić Germanię uderzeniem przez Mor...
• 2024-07-06 19:45:33
Ampere
O tym, że zmienne w czasie pole elektryczne jest źródłem pola magnetycznego, napisał ...
• 2024-06-27 07:25:33