Pochodna z pierwiastka

Spośród wielu różnych funkcji, których pochodne można policzyć, warto przyjrzeć się bliżej pochodnym funkcji, w których występują pierwiastki.
Przypomnijmy wcześniej pewien podstawowy fakt:

\( \sqrt[a]{x ^{b} } = x^{ \frac{b}{a} } \) - pierwiastek zawsze można zamienić na potęgę.

Przykłady:

\( \sqrt[]{x ^{} } = x^{ \frac{1}{2} } \)

\( \sqrt[3]{x ^{} } = x^{ \frac{1}{3} } \)

\( \sqrt[5]{x ^{7} } = x^{ \frac{7}{5} } \), etc.

W połączeniu ze wzorem na pochodną funkcji potęgowej (\(( x^{a} )' = ax ^{a-1} \)) otrzymujemy więc sposób na liczenie pochodnych funkcji z pierwiastkami.

Przykłady:

\(( \sqrt[]{x ^{} })' = (x^{ \frac{1}{2} } )'= \frac{1}{2} x^{ \frac{1}{2} -1} = \frac{1}{2} x^{ -\frac{1}{2}} \)

\(= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{ \frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{ \sqrt{x} } = \frac{1}{2 \sqrt{x} } \)

\(( \sqrt[3]{x})' = (x^{ \frac{1}{3} } )'= \frac{1}{3} x^{ \frac{1}{3} -1} = \frac{1}{3} x^{ -\frac{2}{3}} \)

\(= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{ x^{ \frac{2}{3}} } = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{ \sqrt[3]{x ^{2} } } = \frac{1}{ 3 \sqrt[3]{x ^{2} } }\)

\(( \sqrt[5]{x ^{7}} )' = (x^{ \frac{5}{7} } )'= \frac{5}{7} x^{ \frac{5}{7} -1} = \frac{5}{7} x^{ -\frac{2}{7}} \)

\(= \frac{5}{7} \cdot \frac{1}{ x^{ \frac{2}{7}} } = \frac{5}{7} \cdot \frac{1}{ \sqrt[7]{x ^{2} } } = \frac{5}{ 7 \sqrt[7]{x ^{2} } }\)

Polecamy również:

  • Pochodna iloczynu

    Przyjrzyjmy się bliżej wzorowi na pochodną iloczynu. Wzór ten mówi nam jak liczyć pochodne w przypadku gdy różniczkowana funkcja jest iloczynem dwóch innych funkcji... Więcej »

  • Pochodna ilorazu

    Wzór na pochodną ilorazu jest podobny do wzoru na pochodną iloczynu. Podobnie jak przy pochodnej iloczynu liczymy pochodne obu funkcji występujących w początkowym wyrażeniu... Więcej »

Komentarze (0)
Wynik działania 4 + 5 =
Ostatnio komentowane
Brakowało mi rozwinięcia „przyjaciele momo” w bohaterach, ale tak to super.
anonim • 2025-06-16 20:16:00
spoko dostałem 5
anonim • 2025-06-16 18:47:01
slabe nic prawie nie ma
anonim • 2025-06-12 19:20:21
fajnie streszcnone bardzo pomocne
anonim • 2025-06-11 15:52:32
fajny
anonim • 2025-06-09 17:45:57