Pochodna z pierwiastka

Spośród wielu różnych funkcji, których pochodne można policzyć, warto przyjrzeć się bliżej pochodnym funkcji, w których występują pierwiastki.
Przypomnijmy wcześniej pewien podstawowy fakt:

 \sqrt[a]{x ^{b} } = x^{ \frac{b}{a} } - pierwiastek zawsze można zamienić na potęgę.

Przykłady:

 \sqrt[]{x ^{} } = x^{ \frac{1}{2} }

 \sqrt[3]{x ^{} } = x^{ \frac{1}{3} }

 \sqrt[5]{x ^{7} } = x^{ \frac{7}{5} } , etc.

W połączeniu ze wzorem na pochodną funkcji potęgowej (( x^{a} )' = ax ^{a-1} ) otrzymujemy więc sposób na liczenie pochodnych funkcji z pierwiastkami.

Przykłady:

( \sqrt[]{x ^{} })' = (x^{ \frac{1}{2} } )'=  \frac{1}{2} x^{ \frac{1}{2} -1}
=  \frac{1}{2} x^{ -\frac{1}{2}}

=  \frac{1}{2}  \cdot  \frac{1}{x^{ \frac{1}{2}}}  =  \frac{1}{2}  \cdot  \frac{1}{ \sqrt{x} } =  \frac{1}{2 \sqrt{x} }

(  \sqrt[3]{x})' = (x^{ \frac{1}{3} } )'=  \frac{1}{3} x^{ \frac{1}{3} -1}
=  \frac{1}{3} x^{ -\frac{2}{3}}

=  \frac{1}{3}  \cdot  \frac{1}{ x^{ \frac{2}{3}} } =
 \frac{1}{3} \cdot   \frac{1}{  \sqrt[3]{x ^{2} }  }

= \frac{1}{ 3 \sqrt[3]{x ^{2} }  }

(  \sqrt[5]{x ^{7}} )' = (x^{ \frac{5}{7} } )'=  \frac{5}{7} x^{ \frac{5}{7} -1}
=  \frac{5}{7} x^{ -\frac{2}{7}}

=  \frac{5}{7}  \cdot  \frac{1}{ x^{ \frac{2}{7}} } =
 \frac{5}{7} \cdot   \frac{1}{  \sqrt[7]{x ^{2} }  }

= \frac{5}{ 7 \sqrt[7]{x ^{2} }  }

Polecamy również:

  • Pochodna iloczynu

    Przyjrzyjmy się bliżej wzorowi na pochodną iloczynu. Wzór ten mówi nam jak liczyć pochodne w przypadku gdy różniczkowana funkcja jest iloczynem dwóch innych funkcji... Więcej »

  • Pochodna ilorazu

    Wzór na pochodną ilorazu jest podobny do wzoru na pochodną iloczynu. Podobnie jak przy pochodnej iloczynu liczymy pochodne obu funkcji występujących w początkowym wyrażeniu... Więcej »

Komentarze (0)
Wynik działania 3 + 4 =
Ostatnio komentowane
dsasadsda
• 2022-05-16 16:49:01
...
• 2022-05-16 16:13:57
fajne
• 2022-05-16 16:04:04
A do zoo zł do do xxxl
• 2022-05-16 15:49:19
Za długie
• 2022-05-16 15:04:11