Pochodna z pierwiastka

W tym dziale

Drukuj: Drukuj
Rozmiar: AAA

Spośród wielu różnych funkcji, których pochodne można policzyć, warto przyjrzeć się bliżej pochodnym funkcji, w których występują pierwiastki.
Przypomnijmy wcześniej pewien podstawowy fakt:

$\sqrt[a]{x ^{b} } = x^{ \frac{b}{a} }$ - pierwiastek zawsze można zamienić na potęgę.

Przykłady:

$\sqrt[]{x ^{} } = x^{ \frac{1}{2} }$

$\sqrt[3]{x ^{} } = x^{ \frac{1}{3} }$

$\sqrt[5]{x ^{7} } = x^{ \frac{7}{5} }$ , etc.

W połączeniu ze wzorem na pochodną funkcji potęgowej ( $( x^{a} )' = ax ^{a-1}$ ) otrzymujemy więc sposób na liczenie pochodnych funkcji z pierwiastkami.

Przykłady:

$( \sqrt[]{x ^{} })' = (x^{ \frac{1}{2} } )'= \frac{1}{2} x^{ \frac{1}{2} -1} = \frac{1}{2} x^{ -\frac{1}{2}}$

$= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{ \frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{ \sqrt{x} } = \frac{1}{2 \sqrt{x} }$

$( \sqrt[3]{x})' = (x^{ \frac{1}{3} } )'= \frac{1}{3} x^{ \frac{1}{3} -1} = \frac{1}{3} x^{ -\frac{2}{3}}$

$= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{ x^{ \frac{2}{3}} } = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{ \sqrt[3]{x ^{2} } } = \frac{1}{ 3 \sqrt[3]{x ^{2} } }$

$( \sqrt[5]{x ^{7}} )' = (x^{ \frac{5}{7} } )'= \frac{5}{7} x^{ \frac{5}{7} -1} = \frac{5}{7} x^{ -\frac{2}{7}}$

$= \frac{5}{7} \cdot \frac{1}{ x^{ \frac{2}{7}} } = \frac{5}{7} \cdot \frac{1}{ \sqrt[7]{x ^{2} } } = \frac{5}{ 7 \sqrt[7]{x ^{2} } }$

Polecamy również:

Pochodna iloczynu

Przyjrzyjmy się bliżej wzorowi na pochodną iloczynu. Wzór ten mówi nam jak liczyć pochodne w przypadku gdy różniczkowana funkcja jest iloczynem dwóch innych funkcji... Więcej »
Pochodna ilorazu

Wzór na pochodną ilorazu jest podobny do wzoru na pochodną iloczynu. Podobnie jak przy pochodnej iloczynu liczymy pochodne obu funkcji występujących w początkowym wyrażeniu... Więcej »

Ostatnio dodane
Losowe

Komentarze (0)

Joseph Fourier

Tekst zapewne zredagowany przez historyka. Tak naprawdę nic na temat rewolucyjnych osiąg...

furiat • 2019-08-15 11:10:28

Arytmetyka i teoria liczb

Szkoda że nie ma zdań a tak poza tym to fajna strona

Nie kumata862 • 2019-08-06 19:59:23

Felieton

Świetne, że można nauczyć się pisać dobry felieton. Przydaje się ta wiedza także p...

Szymon Owedyk • 2019-08-01 04:28:01

Reportaż

Super wskazówki, jak pisać reportaż. Swoje rady o tym, jak reportaż i felieton piszę,...

Szymon Owedyk • 2019-07-31 20:10:19

Motyw danse macabre

Sorry, ale to nie jest o tańcu śmierci, tylko o "Rozmowie..." w ogóle.

Andr • 2019-07-30 10:51:02