Spośród wielu różnych funkcji, których pochodne można policzyć, warto przyjrzeć się bliżej pochodnym funkcji, w których występują pierwiastki.
Przypomnijmy wcześniej pewien podstawowy fakt:
\( \sqrt[a]{x ^{b} } = x^{ \frac{b}{a} } \) - pierwiastek zawsze można zamienić na potęgę.
Przykłady:
\( \sqrt[]{x ^{} } = x^{ \frac{1}{2} } \)
\( \sqrt[3]{x ^{} } = x^{ \frac{1}{3} } \)
\( \sqrt[5]{x ^{7} } = x^{ \frac{7}{5} } \), etc.
W połączeniu ze wzorem na pochodną funkcji potęgowej (\(( x^{a} )' = ax ^{a-1} \)) otrzymujemy więc sposób na liczenie pochodnych funkcji z pierwiastkami.
Przykłady:
\(( \sqrt[]{x ^{} })' = (x^{ \frac{1}{2} } )'= \frac{1}{2} x^{ \frac{1}{2} -1} = \frac{1}{2} x^{ -\frac{1}{2}} \)
\(= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{ \frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{ \sqrt{x} } = \frac{1}{2 \sqrt{x} } \)
\(( \sqrt[3]{x})' = (x^{ \frac{1}{3} } )'= \frac{1}{3} x^{ \frac{1}{3} -1} = \frac{1}{3} x^{ -\frac{2}{3}} \)
\(= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{ x^{ \frac{2}{3}} } = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{ \sqrt[3]{x ^{2} } } = \frac{1}{ 3 \sqrt[3]{x ^{2} } }\)
\(( \sqrt[5]{x ^{7}} )' = (x^{ \frac{5}{7} } )'= \frac{5}{7} x^{ \frac{5}{7} -1} = \frac{5}{7} x^{ -\frac{2}{7}} \)
\(= \frac{5}{7} \cdot \frac{1}{ x^{ \frac{2}{7}} } = \frac{5}{7} \cdot \frac{1}{ \sqrt[7]{x ^{2} } } = \frac{5}{ 7 \sqrt[7]{x ^{2} } }\)