Badanie monotoniczności ciągu

Dane są ciągi $a_n=\frac{2n-2}{n}, \hspace{10pt} b_n=\frac{3n-2}{n}$ . Zbadaj monotoniczność ciągów

a) $(a_n)$ ,

b) $(a_n-b_n)$ ,

c) $(\frac{a_n}{b_n})$ .

Liceum Matematyka

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl

25.03.2020 22:32

a) Sprawdzamy, jaka jest różnica dowolnych dwóch kolejnych wyrazów.

$a_{n+1}-a_n=\frac{2(n+1)-2}{n+1}-\frac{2n-2}{n} = \frac{2n\cdot n - 2(n-1)(n+1)}{n(n+1)}$

$=\frac{2n^2-2(n^2-1)}{n(n+1)}=\frac{2}{n(n+1)} \ >0$

Powyższa różnica jest dodatnia dla $n\in N$ , więc ciąg $(a_n)$ jest rosnący.

b) Wyznaczamy wyraz ciągu $c_n=a_n-b_n$ .

$c_n=\frac{2n-2}{n}-\frac{3n-2}{n} = \frac{2n-2-3n+2}{n}=\frac{-n}{n}=-1$

Każdy wyraz ciągu $(c_n)$ jest jednakowy, równy $-1$ , więc ciąg $(c_n)$ jest stały.

c) Wyznaczamy wyraz ciągu $d_n=\frac{a_n}{b_n}$ .

$d_n=\frac{\frac{2n-2}{n}}{\frac{3n-2}{n}}=\frac{2n-2}{n}\cdot\frac{n}{3n-2} =\frac{2n-2}{3n-2}$

Sprawdzamy, jaka jest różnica dowolnych dwóch kolejnych wyrazów ciągu $d_n$ .

$d_{n+1}-d_n= \frac{2(n+1)-2}{3(n+1)-2}-\frac{2n-2}{3n-2} = \frac{2n}{3n+1}-\frac{2n-2}{3n-2}$

$=\frac{2n(3n-2)-(2n-2)(3n+1)}{(3n+1)(3n-2)}= \frac{6n^2-4n-6n^2-2n+6n+2}{(3n+1)(3n-2)} = \frac{2}{(3n+1)(3n-2)} \ >\ 0$

Powyższa różnica jest dodatnia dla $n\in N$ , więc ciąg $(d_n)$ jest rosnący.

Dzięki! 1

Znasz odpowiedź na to pytanie?

Wszystkie odpowiedzi (0)

Rozwiąż również: