Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Badanie monotoniczności ciągu

Dane są ciągi a_n=\frac{2n-2}{n}, \hspace{10pt} b_n=\frac{3n-2}{n} . Zbadaj monotoniczność ciągów  

a) (a_n),

b) (a_n-b_n),

c) (\frac{a_n}{b_n}).

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl
25.03.2020 22:32

a) Sprawdzamy, jaka jest różnica dowolnych dwóch kolejnych wyrazów.

a_{n+1}-a_n=\frac{2(n+1)-2}{n+1}-\frac{2n-2}{n} = \frac{2n\cdot n - 2(n-1)(n+1)}{n(n+1)}

=\frac{2n^2-2(n^2-1)}{n(n+1)}=\frac{2}{n(n+1)} \ >0

Powyższa różnica jest dodatnia dla n\in N, więc ciąg (a_n) jest rosnący.

 

b) Wyznaczamy wyraz ciągu c_n=a_n-b_n.

c_n=\frac{2n-2}{n}-\frac{3n-2}{n} = \frac{2n-2-3n+2}{n}=\frac{-n}{n}=-1

Każdy wyraz ciągu (c_n) jest jednakowy, równy -1 , więc ciąg (c_n) jest stały.


c) Wyznaczamy wyraz ciągu d_n=\frac{a_n}{b_n}.

d_n=\frac{\frac{2n-2}{n}}{\frac{3n-2}{n}}=\frac{2n-2}{n}\cdot\frac{n}{3n-2} =\frac{2n-2}{3n-2}

Sprawdzamy, jaka jest różnica dowolnych dwóch kolejnych wyrazów ciągu d_n.

d_{n+1}-d_n= \frac{2(n+1)-2}{3(n+1)-2}-\frac{2n-2}{3n-2} = \frac{2n}{3n+1}-\frac{2n-2}{3n-2}

=\frac{2n(3n-2)-(2n-2)(3n+1)}{(3n+1)(3n-2)}= \frac{6n^2-4n-6n^2-2n+6n+2}{(3n+1)(3n-2)} = \frac{2}{(3n+1)(3n-2)} \ >\ 0


Powyższa różnica jest dodatnia dla n\in N, więc ciąg (d_n)  jest rosnący.

Dzięki! 0
Znasz odpowiedź na to pytanie?
Wynik działania 4 + 1 =
Wszystkie odpowiedzi (0)