1. Strona główna
    2. /
  2. Matematyka
    3. /
  3. Pochodna ilorazu

Pochodna ilorazu

Wzór na pochodną ilorazu jest podobny do wzoru na pochodną iloczynu. Podobnie jak przy pochodnej iloczynu liczymy pochodne obu funkcji występujących w początkowym wyrażeniu i mnożymy je "naprzemiennie" z początkowymi funkcjami. Różnicą jest to, że tak wyliczone iloczyny odejmujemy a nie jak w przypadku pochodnej iloczynu dodajemy - oraz całość dzielimy jeszcze przez kwadrat drugiej funkcji.

( \frac{f(x)}{g(x)} )'= \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x) )^{2} }

Przykład:

(\frac{x^{3}+2x}{ x^{4}- \sin x } )' = ?

Zaczynamy od wyznaczenia pochodnych funkcji, których iloraz mamy zróżniczkować:

(x^{3}+2x )' = 3x^{2}+2

( x^{4}- \sin x )' = 4x^{3}- \cos x

Teraz możemy podstawić do wzoru

(\frac{x^{3}+2x}{ x^{4}- \sin x } )' = \frac{(x^{3}+2x )'(x^{4}- \sin x)-(x^{3}+2x )(x^{4}- \sin x)'}{(x^{4}- \sin x )^{2}}

= \frac{(3x^{2}+2)(x^{4}- \sin x) - (x^{3}+2x)(4x^{3}- \cos x)}{(x^{4}- \sin x)^2}

Pochodna jest już właściwie wyliczona - teraz dobrym nawykiem jest doprowadzenie wyrażenia do prostszej postaci.

=\frac{3x^6-3x^2 \sin x +2x^4 - 2\sin x -4x^6 + x^3 \cos x - 8x^4 + 2x \cos x}{x^8 - 2x^4 \sin x + \sin^2 x}

=\frac{-x^6- 6x^4+ x^3 \cos x-3x^2 \sin x + 2x \cos x - 2\sin x}{x^8 - 2x^4 \sin x + \sin^2 x}

Jak widać otrzymana na końcu postać nawet po uporządkowaniu i tak wygląda dość skomplikowanie - wzór na pochodną ilorazu ma to do siebie, że końcowy wynik rzadko kiedy ma prostą postać.

Polecamy również:

  • Pochodna z pierwiastka

    Spośród wielu różnych funkcji, których pochodne można policzyć, warto bliżej się przyjrzeć pochodnym funkcji, w których występują pierwiastki... Więcej »

  • Pochodna iloczynu

    Przyjrzyjmy się bliżej wzorowi na pochodną iloczynu. Wzór ten mówi nam jak liczyć pochodne w przypadku gdy różniczkowana funkcja jest iloczynem dwóch innych funkcji... Więcej »

Zobacz również

Losowe zadania

Komentarze (0)
Wynik działania 5 + 2 =
Ostatnio komentowane
Dowód nie wprost
bazinga
• 2024-09-12 14:55:28
Wojna chłopska w Niemczech (1524-1526)
Dodajmy, że było to również ostatnie powstanie wendyjskie (słowiańskie) na terenie N...
• 2024-09-04 21:32:33
Idiota – streszczenie
DZIĘKUJĘ
• 2024-07-31 13:21:34
Najazdy barbarzyńców na Rzym
I cóż miał rację Marek Aureliusz który chciał podbić Germanię uderzeniem przez Mor...
• 2024-07-06 19:45:33
Ampere
O tym, że zmienne w czasie pole elektryczne jest źródłem pola magnetycznego, napisał ...
• 2024-06-27 07:25:33