Interpretacja geometryczna pochodnej

Gdyby narysować styczną do wykresu funkcji $f$ w punkcie $(x_0,f(x_0))$, to jej współczynnik kierunkowy byłby równy pochodnej funkcji w tym punkcie, tzn. $f'(x_0)= \operator tg }\alpha$. 

Przy tym równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $x_0$ ma postać $y = f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$.

 

Przykład:

Znaleźć równanie stycznej do wykresu funkcji $f(x) = \sqrt{x}$ w punkcie $x_0 = 9$.

Policzmy wartość funkcji oraz pochodną w $x_0$:

$f(x_0) = \sqrt{x_0} = \sqrt{9} =3$ 

$f'(x_0) = \frac1{2 \sqrt{x_0}} = \frac1{2 \sqrt{9}} = \frac16$ 

Podstawmy do wzoru:

$y = \frac16(x-9)+3 = \frac16x-\frac96+3=\frac16x+\frac32$

 

Zadanie:

Znaleźć równanie stycznej do wykresu funkcji $f(x) = 2x +1$ w $x_0 = 5$.

 

Odpowiedzi:

$y = 2x +1$.