Gdyby narysować styczną do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \((x_0,f(x_0))\), to jej współczynnik kierunkowy byłby równy pochodnej funkcji w tym punkcie, tzn. \(f'(x_0)= \operator tg }\alpha\).
Przy tym równanie stycznej do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \(x_0\) ma postać \(y = f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\).
Przykład:
Znaleźć równanie stycznej do wykresu funkcji \(f(x) = \sqrt{x} \) w punkcie \(x_0 = 9\).
Policzmy wartość funkcji oraz pochodną w \(x_0 \):
\(f(x_0) = \sqrt{x_0} = \sqrt{9} =3\)
\(f'(x_0) = \frac1{2 \sqrt{x_0}} = \frac1{2 \sqrt{9}} = \frac16\)
Podstawmy do wzoru:
\(y = \frac16(x-9)+3 = \frac16x-\frac96+3=\frac16x+\frac32\)
Zadanie:
Znaleźć równanie stycznej do wykresu funkcji \(f(x) = 2x +1 \) w \(x_0 = 5\).
Odpowiedzi:
\(y = 2x +1 \).