1. Strona główna
    2. /
  2. Matematyka
    3. /
  3. Wzory Viete'a

Wzory Viete'a

Wzory Viete'a umożliwiają znalezienie sumy oraz iloczynu miejsc zerowych funkcji kwadratowej (pierwiastków równania kwadratowego) bez ich wyznaczania.

 

x_1+x_2= -\frac{b}{a}

x_1 \cdot x_2= \frac{c}{a}

 

Wyprowadzimy powyższe wzory korzystając ze wzorów na miejsca zerowe trójmianu kwadratowego.

Przypomnijmy, że x_1= \frac{-b- \sqrt{ \Delta } }{2a} oraz x_2= \frac{-b+\sqrt{ \Delta } }{2a} (oczywiście o ile \Delta \ge 0 - jest to warunek konieczny istnienia pierwiastków).

Wzór na sumę otrzymamy dodając do siebie x_1 i x_2:

x_1 + x_2= \frac{-b- \sqrt{ \Delta } }{2a} + \frac{-b+ \sqrt{ \Delta } }{2a} = \frac{-b- \sqrt{ \Delta }-b+ \sqrt{ \Delta } }{2a} = \frac{-2b }{2a} = -\frac{b }{a} .

Wzór na iloczyn otrzymamy mnożąc przez siebie x_1 i x_2:

x_1 \cdot x_2= \frac{-b- \sqrt{ \Delta } }{2a} \cdot \frac{-b+ \sqrt{ \Delta } }{2a} = \frac{b^2- b\sqrt{ \Delta }+b \sqrt{ \Delta }- \Delta }{4a^2} = \frac{b^2- b^2+4ac }{4a^2} = \frac{4ac }{4a^2} = \frac{c }{a} .

 

Dzięki powyższym wzorom możemy określić znaki pierwiastków równania kwadratowego bez ich wyznaczania.

 

Przykład

Rozważmy równanie

- \sqrt{2} x^2-4 \sqrt{2} x-3 \sqrt{2} =0.

Delta jest dodatnia ( \Delta =8), a zatem równanie to ma dwa pierwiastki. Zastanawiamy się jakich znaków są te pierwiastki.

Zwróćmy uwagę, że x_1+x_2= -\frac{b}{a} = - \frac{-4 \sqrt{2} }{- \sqrt{2} } =-4 oraz x_1 \cdot x_2= \frac{c}{a} = \frac{-3 \sqrt{2} }{ -\sqrt{2} } =3.

Wiemy zatem, że suma pierwiastków jest liczbą ujemną a ich iloczyn liczbą dodatnią. Jeśli iloczyn jest dodatni - pierwiastki muszą być tego samego znaku (albo oba dodatnie albo oba ujemne), ale gdyby oba były dodatnie nie moglibyśmy otrzymać ujemnej sumy. Zatem oba pierwiastki muszą być ujemne.

Doszliśmy do tego wniosku nie wyznaczając żadnego z pierwiastków a jedynie w oparciu o informacje uzyskane dzięki wzorom Viete'a.

 

Dzięki wzorom Viete'a możemy także obliczyć wartość wyrażenia x_1^{2}+x_2^{2}.

Zauważmy, że x_1^{2}+x_2^{2}=(x_1+x_2)^{2}-2x_1x_2 - suma kwadratów pierwiastków jest równa kwadratowi sumy pierwiastków pomniejszonemu o dwukrotny iloczyn.

 

Przykład

Niech dana będzie funkcja f(x)=- \sqrt{2} x^2-4 \sqrt{2} x-3 \sqrt{2} . Znajdziemy sumę kwadratów jej miejsc zerowych.

Wykorzystamy wzór x_1^{2}+x_2^{2}=(x_1+x_2)^{2}-2x_1x_2

x_1+x_2= -4, x_1 \cdot x_2= 3, zatem x_1^{2}+x_2^{2}=(-4)^{2}-2 \cdot 3=16-6=10.

 

W podobny sposób możemy znaleźć też wartość wyrażenia \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} .

Rozpiszmy \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2}{x_1x_2} + \frac{x_1}{x_1x_2} = \frac{x_1+x_2}{x_1x_2}.

 

Przykład

Znów rozważamy funkcję f(x)=- \sqrt{2} x^2-4 \sqrt{2} x-3 \sqrt{2} . Chcemy znaleźć dla niej sumę odwrotności jej pierwiastków ( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} ).

Wiemy, żex_1+x_2= -4, x_1 \cdot x_2= 3, zatem \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2}{x_1x_2} + \frac{x_1}{x_1x_2} = \frac{x_1+x_2}{x_1x_2}= \frac{-4}{3} .

Polecamy również:

Zobacz również

Losowe zadania

Komentarze (0)
Wynik działania 3 + 4 =
Ostatnio komentowane
Momo - bohaterowie
Yyytf
• 2024-10-04 09:18:36
Przywilej czerwiński (1422)
Masz
• 2024-09-27 07:49:55
Rozbicie dzielnicowe w Polsce (1138-1320)
Dziękuję za krótką acz treściwą syntezę :)
• 2024-09-24 21:14:03
Wojna chłopska w Niemczech (1524-1526)
Dodajmy, że było to również ostatnie powstanie wendyjskie (słowiańskie) na terenie N...
• 2024-09-04 21:32:33
Idiota – streszczenie
DZIĘKUJĘ
• 2024-07-31 13:21:34