Wzory Viete'a umożliwiają znalezienie sumy oraz iloczynu miejsc zerowych funkcji kwadratowej (pierwiastków równania kwadratowego) bez ich wyznaczania.
x1+x2=−ba
x1⋅x2=ca
Wyprowadzimy powyższe wzory korzystając ze wzorów na miejsca zerowe trójmianu kwadratowego.
Przypomnijmy, że x1=−b−√Δ2a oraz x2=−b+√Δ2a (oczywiście o ile Δ≥0 - jest to warunek konieczny istnienia pierwiastków).
Wzór na sumę otrzymamy dodając do siebie x1 i x2:
x1+x2=−b−√Δ2a+−b+√Δ2a=−b−√Δ−b+√Δ2a=−2b2a=−ba.
Wzór na iloczyn otrzymamy mnożąc przez siebie x1 i x2:
x1⋅x2=−b−√Δ2a⋅−b+√Δ2a=b2−b√Δ+b√Δ−Δ4a2=b2−b2+4ac4a2=4ac4a2=ca.
Dzięki powyższym wzorom możemy określić znaki pierwiastków równania kwadratowego bez ich wyznaczania.
Przykład
Rozważmy równanie
−√2x2−4√2x−3√2=0.
Delta jest dodatnia (Δ=8), a zatem równanie to ma dwa pierwiastki. Zastanawiamy się jakich znaków są te pierwiastki.
Zwróćmy uwagę, że x1+x2=−ba=−−4√2−√2=−4 oraz x1⋅x2=ca=−3√2−√2=3.
Wiemy zatem, że suma pierwiastków jest liczbą ujemną a ich iloczyn liczbą dodatnią. Jeśli iloczyn jest dodatni - pierwiastki muszą być tego samego znaku (albo oba dodatnie albo oba ujemne), ale gdyby oba były dodatnie nie moglibyśmy otrzymać ujemnej sumy. Zatem oba pierwiastki muszą być ujemne.
Doszliśmy do tego wniosku nie wyznaczając żadnego z pierwiastków a jedynie w oparciu o informacje uzyskane dzięki wzorom Viete'a.
Dzięki wzorom Viete'a możemy także obliczyć wartość wyrażenia x21+x22.
Zauważmy, że x21+x22=(x1+x2)2−2x1x2 - suma kwadratów pierwiastków jest równa kwadratowi sumy pierwiastków pomniejszonemu o dwukrotny iloczyn.
Przykład
Niech dana będzie funkcja f(x)=−√2x2−4√2x−3√2. Znajdziemy sumę kwadratów jej miejsc zerowych.
Wykorzystamy wzór x21+x22=(x1+x2)2−2x1x2
x1+x2=−4, x1⋅x2=3, zatem x21+x22=(−4)2−2⋅3=16−6=10.
W podobny sposób możemy znaleźć też wartość wyrażenia 1x1+1x2.
Rozpiszmy 1x1+1x2=x2x1x2+x1x1x2=x1+x2x1x2.
Przykład
Znów rozważamy funkcję f(x)=−√2x2−4√2x−3√2. Chcemy znaleźć dla niej sumę odwrotności jej pierwiastków (1x1+1x2).
Wiemy, żex1+x2=−4, x1⋅x2=3, zatem 1x1+1x2=x2x1x2+x1x1x2=x1+x2x1x2=−43.