Wzory Viete'a

Wzory Viete'a umożliwiają znalezienie sumy oraz iloczynu miejsc zerowych funkcji kwadratowej (pierwiastków równania kwadratowego) bez ich wyznaczania.

$x_1+x_2= -\frac{b}{a}$

$x_1 \cdot x_2= \frac{c}{a}$

Wyprowadzimy powyższe wzory korzystając ze wzorów na miejsca zerowe trójmianu kwadratowego.

Przypomnijmy, że $x_1= \frac{-b- \sqrt{ \Delta } }{2a}$ oraz $x_2= \frac{-b+\sqrt{ \Delta } }{2a}$ (oczywiście o ile $\Delta \ge 0$ - jest to warunek konieczny istnienia pierwiastków).

Wzór na sumę otrzymamy dodając do siebie $x_1$ i $x_2$ :

$x_1 + x_2= \frac{-b- \sqrt{ \Delta } }{2a} + \frac{-b+ \sqrt{ \Delta } }{2a} = \frac{-b- \sqrt{ \Delta }-b+ \sqrt{ \Delta } }{2a} = \frac{-2b }{2a} = -\frac{b }{a}$ .

Wzór na iloczyn otrzymamy mnożąc przez siebie $x_1$ i $x_2$ :

$x_1 \cdot x_2= \frac{-b- \sqrt{ \Delta } }{2a} \cdot \frac{-b+ \sqrt{ \Delta } }{2a} = \frac{b^2- b\sqrt{ \Delta }+b \sqrt{ \Delta }- \Delta }{4a^2} =$ $\frac{b^2- b^2+4ac }{4a^2} = \frac{4ac }{4a^2} = \frac{c }{a}$ .

Dzięki powyższym wzorom możemy określić znaki pierwiastków równania kwadratowego bez ich wyznaczania.

Przykład

Rozważmy równanie

$- \sqrt{2} x^2-4 \sqrt{2} x-3 \sqrt{2} =0$ .

Delta jest dodatnia ( $\Delta =8$ ), a zatem równanie to ma dwa pierwiastki. Zastanawiamy się jakich znaków są te pierwiastki.

Zwróćmy uwagę, że $x_1+x_2= -\frac{b}{a} = - \frac{-4 \sqrt{2} }{- \sqrt{2} } =-4$ oraz $x_1 \cdot x_2= \frac{c}{a} = \frac{-3 \sqrt{2} }{ -\sqrt{2} } =3$ .

Wiemy zatem, że suma pierwiastków jest liczbą ujemną a ich iloczyn liczbą dodatnią. Jeśli iloczyn jest dodatni - pierwiastki muszą być tego samego znaku (albo oba dodatnie albo oba ujemne), ale gdyby oba były dodatnie nie moglibyśmy otrzymać ujemnej sumy. Zatem oba pierwiastki muszą być ujemne.

Doszliśmy do tego wniosku nie wyznaczając żadnego z pierwiastków a jedynie w oparciu o informacje uzyskane dzięki wzorom Viete'a.

Dzięki wzorom Viete'a możemy także obliczyć wartość wyrażenia $x_1^{2}+x_2^{2}$ .

Zauważmy, że $x_1^{2}+x_2^{2}=(x_1+x_2)^{2}-2x_1x_2$ - suma kwadratów pierwiastków jest równa kwadratowi sumy pierwiastków pomniejszonemu o dwukrotny iloczyn.

Przykład

Niech dana będzie funkcja $f(x)=- \sqrt{2} x^2-4 \sqrt{2} x-3 \sqrt{2}$ . Znajdziemy sumę kwadratów jej miejsc zerowych.

Wykorzystamy wzór $x_1^{2}+x_2^{2}=(x_1+x_2)^{2}-2x_1x_2$

$x_1+x_2= -4$ , $x_1 \cdot x_2= 3$ , zatem $x_1^{2}+x_2^{2}=(-4)^{2}-2 \cdot 3=16-6=10$ .

W podobny sposób możemy znaleźć też wartość wyrażenia $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$ .

Rozpiszmy $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2}{x_1x_2} + \frac{x_1}{x_1x_2} = \frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$ .

Przykład

Znów rozważamy funkcję $f(x)=- \sqrt{2} x^2-4 \sqrt{2} x-3 \sqrt{2}$ . Chcemy znaleźć dla niej sumę odwrotności jej pierwiastków ( $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$ ).

Wiemy, że $x_1+x_2= -4$ , $x_1 \cdot x_2= 3$ , zatem $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2}{x_1x_2} + \frac{x_1}{x_1x_2} = \frac{x_1+x_2}{x_1x_2}= \frac{-4}{3}$ .

Polecamy również:

Funkcja liniowa – wzory, przykłady, zadania

Funkcja liniowa, to funkcja, której wykresem jest linia prosta. Jest ona zadana równaniem liniowy. Więcej »
Funkcja wielomianowa – definicja, własności, wykres

Funkcja wielomianowa jest funkcją zadaną przez pewien wielomian. Więcej »
Własności funkcji

Podstawowymi własnościami funkcji są monotoniczność, ograniczoność, okresowość, różnowartościowość, parzystość oraz ciągłość. Więcej »
Funkcja wykładnicza – własności, przykłady, wykres, zadania

Funkcja wykładnicza jest funkcją zadaną przez równanie wykładnicze. Więcej »
Funkcja logarytmiczna – definicja, wzory, wykres, przykłady, zadania

Funkcją logarytmiczną jest funkcja zadana przez równanie logarytmiczne. Więcej »

Komentarze (0)

Wzory Viete'a

Przykład

Przykład

Przykład

Polecamy również:

Zobacz również

Funkcja liniowa – wzory, przykłady, zadania

Funkcja wielomianowa – definicja, własności, wykres

Własności funkcji

Funkcja wykładnicza – własności, przykłady, wykres, zadania

Funkcja logarytmiczna – definicja, wzory, wykres, przykłady, zadania

Losowe zadania

Klocek na równi

Zderzenie wózków

Zapoznaj się z równaniem reakcji i określ słuszność poniższych stwierdzeń

Oblicz stężeniową stałą równowagi

Wyjaśnij różnicę w temperaturze wrzenia fluorowodoru