Wzory Viete'a

Wzory Viete'a umożliwiają znalezienie sumy oraz iloczynu miejsc zerowych funkcji kwadratowej (pierwiastków równania kwadratowego) bez ich wyznaczania.

 

$x_1+x_2= -\frac{b}{a}$

$x_1 \cdot x_2= \frac{c}{a}$

 

Wyprowadzimy powyższe wzory korzystając ze wzorów na miejsca zerowe trójmianu kwadratowego.

Przypomnijmy, że $x_1= \frac{-b- \sqrt{ \Delta } }{2a}$ oraz $x_2= \frac{-b+\sqrt{ \Delta } }{2a}$ (oczywiście o ile $\Delta \ge 0$ - jest to warunek konieczny istnienia pierwiastków).

Wzór na sumę otrzymamy dodając do siebie $x_1$ i $x_2$:

$x_1 + x_2= \frac{-b- \sqrt{ \Delta } }{2a} + \frac{-b+ \sqrt{ \Delta } }{2a} = \frac{-b- \sqrt{ \Delta }-b+ \sqrt{ \Delta } }{2a} = \frac{-2b }{2a} = -\frac{b }{a}$.

Wzór na iloczyn otrzymamy mnożąc przez siebie $x_1$ i $x_2$:

$x_1 \cdot x_2= \frac{-b- \sqrt{ \Delta } }{2a} \cdot \frac{-b+ \sqrt{ \Delta } }{2a} = \frac{b^2- b\sqrt{ \Delta }+b \sqrt{ \Delta }- \Delta }{4a^2} =$$\frac{b^2- b^2+4ac }{4a^2} = \frac{4ac }{4a^2} = \frac{c }{a}$.

 

Dzięki powyższym wzorom możemy określić znaki pierwiastków równania kwadratowego bez ich wyznaczania.

 

Przykład

Rozważmy równanie

$- \sqrt{2} x^2-4 \sqrt{2} x-3 \sqrt{2} =0$.

Delta jest dodatnia ($\Delta =8$), a zatem równanie to ma dwa pierwiastki. Zastanawiamy się jakich znaków są te pierwiastki.

Zwróćmy uwagę, że $x_1+x_2= -\frac{b}{a} = - \frac{-4 \sqrt{2} }{- \sqrt{2} } =-4$ oraz $x_1 \cdot x_2= \frac{c}{a} = \frac{-3 \sqrt{2} }{ -\sqrt{2} } =3$.

Wiemy zatem, że suma pierwiastków jest liczbą ujemną a ich iloczyn liczbą dodatnią. Jeśli iloczyn jest dodatni - pierwiastki muszą być tego samego znaku (albo oba dodatnie albo oba ujemne), ale gdyby oba były dodatnie nie moglibyśmy otrzymać ujemnej sumy. Zatem oba pierwiastki muszą być ujemne.

Doszliśmy do tego wniosku nie wyznaczając żadnego z pierwiastków a jedynie w oparciu o informacje uzyskane dzięki wzorom Viete'a.

 

Dzięki wzorom Viete'a możemy także obliczyć wartość wyrażenia $x_1^{2}+x_2^{2}$.

Zauważmy, że $x_1^{2}+x_2^{2}=(x_1+x_2)^{2}-2x_1x_2$ - suma kwadratów pierwiastków jest równa kwadratowi sumy pierwiastków pomniejszonemu o dwukrotny iloczyn.

 

Przykład

Niech dana będzie funkcja $f(x)=- \sqrt{2} x^2-4 \sqrt{2} x-3 \sqrt{2}$. Znajdziemy sumę kwadratów jej miejsc zerowych.

Wykorzystamy wzór $x_1^{2}+x_2^{2}=(x_1+x_2)^{2}-2x_1x_2$

$x_1+x_2= -4$, $x_1 \cdot x_2= 3$, zatem $x_1^{2}+x_2^{2}=(-4)^{2}-2 \cdot 3=16-6=10$.

 

W podobny sposób możemy znaleźć też wartość wyrażenia $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$.

Rozpiszmy $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2}{x_1x_2} + \frac{x_1}{x_1x_2} = \frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$.

 

Przykład

Znów rozważamy funkcję $f(x)=- \sqrt{2} x^2-4 \sqrt{2} x-3 \sqrt{2}$. Chcemy znaleźć dla niej sumę odwrotności jej pierwiastków ($\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$).

Wiemy, że$x_1+x_2= -4$, $x_1 \cdot x_2= 3$, zatem $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2}{x_1x_2} + \frac{x_1}{x_1x_2} = \frac{x_1+x_2}{x_1x_2}= \frac{-4}{3}$.