Różniczka funkcji

Różniczka jest sposobem na poznanie przybliżonego przyrostu wartości funkcji.

Definicja:

Różniczką funkcji $f(x)$ ciągłej i różniczkowalnej w punkcie $x_0$ nazywamy iloczyn pochodnej tej funkcji przez przyrost argumentu, tj.

$df(x_0)= f'(x_0) \cdot dx$ .

Uzasadnienie powyższej definicji jest następujące. Przyrostem argumentu funkcji jest $dx$ , zaś $df(x_0)$ - przyrostem wartości funkcji w punkcie $x_0$ gdy argument zmienił się o $dx$ .

A zatem

$df(x_0)=f(x_0+dx)-f(x_0)= \frac{f(x_0+dx)-f(x_0)}{dx} \cdot dx$

Jeśli $dx \rightarrow 0$ (tj. rozważamy coraz mniejsze zmiany argumentu) to wyrażenie $\frac{f(x_0+dx)-f(x_0)}{dx} \rightarrow f'(x_0)$ (granica ilorazu różnicowego to pochodna funkcji).

A zatem faktycznie podany w definicji wzór ma sens.

Uwaga:

Różniczka funkcji w punkcie $x_0$ przybliża zmiany wartości funkcji jeżeli argumenty zmieniły się o $dx$ . Przybliżenie jest tym lepsze im mniejszy jest przyrost argumentu $dx$ , ponieważ wtedy iloraz różnicowy jest bliższy pochodnej funkcji. Prawdziwy jest następujący wzór aproksymacyjny:

$f(x_0 + dx) \approx f(x_0)+df(x_0)$

Przykład:

Chcemy obliczyć przybliżoną wartość $\sqrt[3]{9}$ . W tym celu posłużymy się różniczką funkcji $\sqrt[3]{x}$ .

Niech $f(x) = \sqrt[3]{x}$ . Znamy wartość tej funkcji dla argumentu 8, tak więc $x_0 = 8$ oraz $dx = 1$ . Wtedy $x_0 + dx =9$

Policzmy pochodną (korzystając z metody liczenia pochodnej pierwiastka).

$f'(x) =( \sqrt[3]{x} )'= (x^{\frac{1}{3}} )' = \frac{1}{3} x ^{- \frac{2}{3} } = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x ^{2} } }$

Podstawiając $x_0 = 8$ otrzymamy

$f'(8)= \frac{1}{3 \cdot \sqrt[3]{8 ^{2} } } =\frac{1}{3 \cdot \sqrt[3]{8 }^{2} } = \frac{1}{3 \cdot 2^{2} } = \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12}$

Oraz

$df(8)=f'(8) \cdot dx = \frac{1}{12} \cdot 1= \frac{1}{12}$

A zatem korzystając ze wzoru podanego w uwadze mamy

$\sqrt[3]{9} \approx f(8)+df(8)=2+ \frac{1}{12} =2 \frac{1}{2} = 2,08333...$

Podczas gdy prawdziwa wartość $\sqrt[3]{9}$ to $2,080083823...$ .

Jak zatem widać dzięki zastosowaniu różniczki otrzymaliśmy całkiem dobre przybliżenie - różnica pojawiła się dopiero na trzecim miejscu po przecinku.

Polecamy również:

Przedziały monotoniczności – definicja

Przedziałami monotoniczności nazywamy przedziały, w których funkcja jest monotoniczna (tj. rosnąca, malejąca, nierosnąca, niemalejąca lub stała). Więcej »
Ekstremum funkcji – definicja, przykłady, zadania

Ekstrema funkcji to inaczej jej minimum i maksimum, tzn. jej wartości najmniejsze i największe. Więcej »
Wzór Taylora

Wzór Taylora jest narzędziem analizy matematycznej umożliwiającym przybliżanie funkcji wielomianami... Więcej »

Komentarze (0)

Różniczka funkcji

Definicja:

Uwaga:

Przykład:

Polecamy również:

Zobacz również

Przedziały monotoniczności – definicja

Ekstremum funkcji – definicja, przykłady, zadania

Wzór Taylora

Losowe zadania

Wskaż reakcję, która jest charakterystyczna dla alkoholi

Krzyżówka "Środowisko Ameryki"_zadanie zgłoszone

Prekaria

Kanały rzeczne w Polsce

Przystosowania żab do życia w wodzie