Różniczka jest sposobem na poznanie przybliżonego przyrostu wartości funkcji.
Definicja:
Różniczką funkcji \(f(x)\) ciągłej i różniczkowalnej w punkcie \(x_0\) nazywamy iloczyn pochodnej tej funkcji przez przyrost argumentu, tj.
\(df(x_0)= f'(x_0) \cdot dx\).
Uzasadnienie powyższej definicji jest następujące. Przyrostem argumentu funkcji jest \(dx\), zaś \(df(x_0)\) - przyrostem wartości funkcji w punkcie \(x_0\) gdy argument zmienił się o \(dx\).
A zatem
\(df(x_0)=f(x_0+dx)-f(x_0)= \frac{f(x_0+dx)-f(x_0)}{dx} \cdot dx\)
Jeśli \(dx \rightarrow 0\) (tj. rozważamy coraz mniejsze zmiany argumentu) to wyrażenie \(\frac{f(x_0+dx)-f(x_0)}{dx} \rightarrow f'(x_0)\) (granica ilorazu różnicowego to pochodna funkcji).
A zatem faktycznie podany w definicji wzór ma sens.
Uwaga:
Różniczka funkcji w punkcie \(x_0\) przybliża zmiany wartości funkcji jeżeli argumenty zmieniły się o \(dx\). Przybliżenie jest tym lepsze im mniejszy jest przyrost argumentu \(dx\), ponieważ wtedy iloraz różnicowy jest bliższy pochodnej funkcji. Prawdziwy jest następujący wzór aproksymacyjny:
\(f(x_0 + dx) \approx f(x_0)+df(x_0)\)
Przykład:
Chcemy obliczyć przybliżoną wartość \( \sqrt[3]{9} \). W tym celu posłużymy się różniczką funkcji \(\sqrt[3]{x} \).
Niech \(f(x) = \sqrt[3]{x} \). Znamy wartość tej funkcji dla argumentu 8, tak więc \(x_0 = 8\) oraz \(dx = 1\). Wtedy \(x_0 + dx =9\)
Policzmy pochodną (korzystając z metody liczenia pochodnej pierwiastka).
\(f'(x) =( \sqrt[3]{x} )'= (x^{\frac{1}{3}} )' = \frac{1}{3} x ^{- \frac{2}{3} } = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x ^{2} } } \)
Podstawiając \(x_0 = 8\) otrzymamy
\(f'(8)= \frac{1}{3 \cdot \sqrt[3]{8 ^{2} } } =\frac{1}{3 \cdot \sqrt[3]{8 }^{2} } = \frac{1}{3 \cdot 2^{2} } = \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12} \)
Oraz
\(df(8)=f'(8) \cdot dx = \frac{1}{12} \cdot 1= \frac{1}{12} \)
A zatem korzystając ze wzoru podanego w uwadze mamy
\( \sqrt[3]{9} \approx f(8)+df(8)=2+ \frac{1}{12} =2 \frac{1}{2} = 2,08333...\)
Podczas gdy prawdziwa wartość \( \sqrt[3]{9} \) to \(2,080083823...\).
Jak zatem widać dzięki zastosowaniu różniczki otrzymaliśmy całkiem dobre przybliżenie - różnica pojawiła się dopiero na trzecim miejscu po przecinku.