Różniczka jest sposobem na poznanie przybliżonego przyrostu wartości funkcji.
Definicja:
Różniczką funkcji ciągłej i różniczkowalnej w punkcie
nazywamy iloczyn pochodnej tej funkcji przez przyrost argumentu, tj.
.
Uzasadnienie powyższej definicji jest następujące. Przyrostem argumentu funkcji jest , zaś
- przyrostem wartości funkcji w punkcie
gdy argument zmienił się o
.
A zatem
Jeśli (tj. rozważamy coraz mniejsze zmiany argumentu) to wyrażenie
(granica ilorazu różnicowego to pochodna funkcji).
A zatem faktycznie podany w definicji wzór ma sens.
Uwaga:
Różniczka funkcji w punkcie przybliża zmiany wartości funkcji jeżeli argumenty zmieniły się o
. Przybliżenie jest tym lepsze im mniejszy jest przyrost argumentu
, ponieważ wtedy iloraz różnicowy jest bliższy pochodnej funkcji. Prawdziwy jest następujący wzór aproksymacyjny:
Przykład:
Chcemy obliczyć przybliżoną wartość . W tym celu posłużymy się różniczką funkcji
.
Niech . Znamy wartość tej funkcji dla argumentu 8, tak więc
oraz
. Wtedy
Policzmy pochodną (korzystając z metody liczenia pochodnej pierwiastka).
Podstawiając otrzymamy
Oraz
A zatem korzystając ze wzoru podanego w uwadze mamy
Podczas gdy prawdziwa wartość to
.
Jak zatem widać dzięki zastosowaniu różniczki otrzymaliśmy całkiem dobre przybliżenie - różnica pojawiła się dopiero na trzecim miejscu po przecinku.