Różniczka funkcji

Różniczka jest sposobem na poznanie przybliżonego przyrostu wartości funkcji.

Definicja:

Różniczką funkcji f(x) ciągłej i różniczkowalnej w punkcie x_0 nazywamy iloczyn pochodnej tej funkcji przez przyrost argumentu, tj.

df(x_0)= f'(x_0) \cdot dx.

Uzasadnienie powyższej definicji jest następujące. Przyrostem argumentu funkcji jest dx, zaś df(x_0) - przyrostem wartości funkcji w punkcie x_0 gdy argument zmienił się o dx.

A zatem

df(x_0)=f(x_0+dx)-f(x_0)= \frac{f(x_0+dx)-f(x_0)}{dx}  \cdot dx

Jeśli dx \rightarrow 0 (tj. rozważamy coraz mniejsze zmiany argumentu) to wyrażenie \frac{f(x_0+dx)-f(x_0)}{dx}  \rightarrow f'(x_0) (granica ilorazu różnicowego to pochodna funkcji).

A zatem faktycznie podany w definicji wzór ma sens.

Uwaga:

Różniczka funkcji w punkcie x_0 przybliża zmiany wartości funkcji jeżeli argumenty zmieniły się o dx. Przybliżenie jest tym lepsze im mniejszy jest przyrost argumentu dx, ponieważ wtedy iloraz różnicowy jest bliższy pochodnej funkcji. Prawdziwy jest następujący wzór aproksymacyjny:

f(x_0 + dx)  \approx  f(x_0)+df(x_0)

 

Przykład:

Chcemy obliczyć przybliżoną wartość  \sqrt[3]{9} . W tym celu posłużymy się różniczką funkcji \sqrt[3]{x} .

Niech f(x) =   \sqrt[3]{x} . Znamy wartość tej funkcji dla argumentu 8, tak więc x_0 = 8 oraz dx = 1. Wtedy x_0 + dx =9

Policzmy pochodną (korzystając z metody liczenia pochodnej pierwiastka).

f'(x) =( \sqrt[3]{x} )'= (x^{\frac{1}{3}} )' =  \frac{1}{3} x ^{- \frac{2}{3} } = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x ^{2} } }

Podstawiając x_0 = 8 otrzymamy

f'(8)= \frac{1}{3  \cdot \sqrt[3]{8 ^{2} } } =\frac{1}{3  \cdot \sqrt[3]{8 }^{2}  } =
\frac{1}{3  \cdot 2^{2}  } = \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12}

Oraz

df(8)=f'(8) \cdot dx =  \frac{1}{12}  \cdot 1=  \frac{1}{12}

A zatem korzystając ze wzoru podanego w uwadze mamy

 \sqrt[3]{9}  \approx f(8)+df(8)=2+ \frac{1}{12} =2 \frac{1}{2}  = 2,08333...

Podczas gdy prawdziwa wartość  \sqrt[3]{9} to 2,080083823....

Jak zatem widać dzięki zastosowaniu różniczki otrzymaliśmy całkiem dobre przybliżenie - różnica pojawiła się dopiero na trzecim miejscu po przecinku.

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 4 + 1 =
Ostatnio komentowane
Bardzo przydatne informacje. Przeczytałam z zainteresowaniem.
• 2022-08-13 18:28:30
Ola jest fajną dziewczyną i lubi się bawić z dziećmi i jest w ogóle fajną kobietą....
• 2022-08-09 19:00:20
Rosja nadal jest państwem totalitarnym, a Polska sie nim staje.
• 2022-08-02 19:37:03
Ef. 6:12 [ 11 - 20]. 1Tes.2:13 ; 4: 8..... w tedy i dziś. Łuk.10: 16 .....
• 2022-08-01 16:36:20
To bardzo ciekawa historia godna uwagi każdego.
• 2022-07-12 15:12:25