Przedziały monotoniczności – definicja

Przedziałami monotoniczności nazywamy przedziały, w których funkcja jest monotoniczna (tj. rosnąca, malejąca, nierosnąca, niemalejąca lub stała).

Przypomnijmy, że funkcja jest różniczkowalna jeśli ma pochodną w każdym punkcie dziedziny.

W związku z przedziałami monotoniczności mamy sformułowane następujące twierdzenia:

 

Jeśli funkcja f jest na przedziale (a,b) rosnąca i różniczkowalna to f'(x) \ge 0 dla wszystkich x z przedziału (a,b).

Jeśli funkcja f jest na przedziale (a,b) malejąca i różniczkowalna to f'(x) \le 0 dla wszystkich x z przedziału (a,b).  

Jeśli f'(x) >0 na (a,b) (z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów, w których przyjmuje ona wartość 0) to funkcja f jest w tym przedziale rosnąca. 

Jeśli f'(x)<0 na (a,b) (z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów, w których przyjmuje ona wartość 0) to funkcja f jest w tym przedziale malejąca.  

 

Innymi zatem słowy by określić monotoniczność funkcji liczymy jej pochodną i badamy jej znak. 

 

Przykład:

f(x) = 2x^3 + 2x -5

f'(x) = 6x^2 + 2 >0 dla wszystkich x, zatem f(x) jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

 

Zadanie:

Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f(x) = 2x^3-9x^2+12x-3.

 

Odpowiedzi:

Funkcja jest rosnąca w (-\infty,1)(2,\infty) oraz malejąca w (1,2).

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 1 + 4 =
Ostatnio komentowane
Bardzo przydatne informacje. Przeczytałam z zainteresowaniem.
• 2022-08-13 18:28:30
Ola jest fajną dziewczyną i lubi się bawić z dziećmi i jest w ogóle fajną kobietą....
• 2022-08-09 19:00:20
Rosja nadal jest państwem totalitarnym, a Polska sie nim staje.
• 2022-08-02 19:37:03
Ef. 6:12 [ 11 - 20]. 1Tes.2:13 ; 4: 8..... w tedy i dziś. Łuk.10: 16 .....
• 2022-08-01 16:36:20
To bardzo ciekawa historia godna uwagi każdego.
• 2022-07-12 15:12:25