Przedziały monotoniczności – definicja

Przedziałami monotoniczności nazywamy przedziały, w których funkcja jest monotoniczna (tj. rosnąca, malejąca, nierosnąca, niemalejąca lub stała).

Przypomnijmy, że funkcja jest różniczkowalna jeśli ma pochodną w każdym punkcie dziedziny.

W związku z przedziałami monotoniczności mamy sformułowane następujące twierdzenia:

 

Jeśli funkcja f jest na przedziale (a,b) rosnąca i różniczkowalna to f'(x) \ge 0 dla wszystkich x z przedziału (a,b).

Jeśli funkcja f jest na przedziale (a,b) malejąca i różniczkowalna to f'(x) \le 0 dla wszystkich x z przedziału (a,b).  

Jeśli f'(x) >0 na (a,b) (z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów, w których przyjmuje ona wartość 0) to funkcja f jest w tym przedziale rosnąca. 

Jeśli f'(x)<0 na (a,b) (z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów, w których przyjmuje ona wartość 0) to funkcja f jest w tym przedziale malejąca.  

 

Innymi zatem słowy by określić monotoniczność funkcji liczymy jej pochodną i badamy jej znak. 

 

Przykład:

f(x) = 2x^3 + 2x -5

f'(x) = 6x^2 + 2 >0 dla wszystkich x, zatem f(x) jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

 

Zadanie:

Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f(x) = 2x^3-9x^2+12x-3.

 

Odpowiedzi:

Funkcja jest rosnąca w (-\infty,1)(2,\infty) oraz malejąca w (1,2).

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 4 + 5 =
Ostatnio komentowane
Ani słowa o czworościanie którego krawędzie, powierzchnie i objętość - są wyrażon...
• 2024-03-04 21:58:56
takie łątwe
• 2024-03-04 15:46:48
"Mianem libertarianizmu zwykło się nazywać najbardziej radykalny nurt liberalizmu." No...
• 2024-03-01 10:11:23
Super i MEGA pomocne!
• 2024-02-28 10:18:34
joł joł jowisz najwiekszy olbrzym gazowy 5 od słonca na pewno nie przeoczysz choć mooj...
• 2024-02-27 14:59:44