Przedziałami monotoniczności nazywamy przedziały, w których funkcja jest monotoniczna (tj. rosnąca, malejąca, nierosnąca, niemalejąca lub stała).
Przypomnijmy, że funkcja jest różniczkowalna jeśli ma pochodną w każdym punkcie dziedziny.
W związku z przedziałami monotoniczności mamy sformułowane następujące twierdzenia:
Jeśli funkcja jest na przedziale
rosnąca i różniczkowalna to
dla wszystkich
z przedziału
.
Jeśli funkcja jest na przedziale
malejąca i różniczkowalna to
dla wszystkich
z przedziału
.
Jeśli na
(z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów, w których przyjmuje ona wartość
) to funkcja
jest w tym przedziale rosnąca.
Jeśli na
(z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów, w których przyjmuje ona wartość
) to funkcja
jest w tym przedziale malejąca.
Innymi zatem słowy by określić monotoniczność funkcji liczymy jej pochodną i badamy jej znak.
Przykład:
dla wszystkich
, zatem
jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.
Zadanie:
Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji .
Odpowiedzi:
Funkcja jest rosnąca w ,
oraz malejąca w
.