Przedziały monotoniczności – definicja

Przedziałami monotoniczności nazywamy przedziały, w których funkcja jest monotoniczna (tj. rosnąca, malejąca, nierosnąca, niemalejąca lub stała).

Przypomnijmy, że funkcja jest różniczkowalna jeśli ma pochodną w każdym punkcie dziedziny.

W związku z przedziałami monotoniczności mamy sformułowane następujące twierdzenia:

 

Jeśli funkcja \(f\) jest na przedziale \((a,b)\) rosnąca i różniczkowalna to \(f'(x) \ge 0\) dla wszystkich \(x\) z przedziału \((a,b)\).

Jeśli funkcja \(f\) jest na przedziale \((a,b)\) malejąca i różniczkowalna to \(f'(x) \le 0\) dla wszystkich \(x\) z przedziału \((a,b)\).  

Jeśli \(f'(x) >0\) na \((a,b)\) (z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów, w których przyjmuje ona wartość \(0\)) to funkcja \(f\) jest w tym przedziale rosnąca. 

Jeśli \(f'(x)<0\) na \((a,b)\) (z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów, w których przyjmuje ona wartość \(0\)) to funkcja \(f\) jest w tym przedziale malejąca.  

 

Innymi zatem słowy by określić monotoniczność funkcji liczymy jej pochodną i badamy jej znak. 

 

Przykład:

\(f(x) = 2x^3 + 2x -5\)

\(f'(x) = 6x^2 + 2 >0\) dla wszystkich \(x\), zatem \(f(x)\) jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

 

Zadanie:

Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji \(f(x) = 2x^3-9x^2+12x-3\).

 

Odpowiedzi:

Funkcja jest rosnąca w \((-\infty,1)\)\((2,\infty)\) oraz malejąca w \((1,2)\).

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 1 + 2 =
Ostatnio komentowane
• 2025-03-08 02:40:40
cycki lubie
• 2025-03-05 14:35:07
bardzo to działanie łatwe
• 2025-03-03 13:00:02
Jest nad czym myśleć. PEŁEN POZYTYW.
• 2025-03-02 12:32:53
pozdro mika
• 2025-02-24 20:08:01