Przedziałami monotoniczności nazywamy przedziały, w których funkcja jest monotoniczna (tj. rosnąca, malejąca, nierosnąca, niemalejąca lub stała).
Przypomnijmy, że funkcja jest różniczkowalna jeśli ma pochodną w każdym punkcie dziedziny.
W związku z przedziałami monotoniczności mamy sformułowane następujące twierdzenia:
Jeśli funkcja \(f\) jest na przedziale \((a,b)\) rosnąca i różniczkowalna to \(f'(x) \ge 0\) dla wszystkich \(x\) z przedziału \((a,b)\).
Jeśli funkcja \(f\) jest na przedziale \((a,b)\) malejąca i różniczkowalna to \(f'(x) \le 0\) dla wszystkich \(x\) z przedziału \((a,b)\).
Jeśli \(f'(x) >0\) na \((a,b)\) (z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów, w których przyjmuje ona wartość \(0\)) to funkcja \(f\) jest w tym przedziale rosnąca.
Jeśli \(f'(x)<0\) na \((a,b)\) (z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów, w których przyjmuje ona wartość \(0\)) to funkcja \(f\) jest w tym przedziale malejąca.
Innymi zatem słowy by określić monotoniczność funkcji liczymy jej pochodną i badamy jej znak.
Przykład:
\(f(x) = 2x^3 + 2x -5\)
\(f'(x) = 6x^2 + 2 >0\) dla wszystkich \(x\), zatem \(f(x)\) jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.
Zadanie:
Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji \(f(x) = 2x^3-9x^2+12x-3\).
Odpowiedzi:
Funkcja jest rosnąca w \((-\infty,1)\), \((2,\infty)\) oraz malejąca w \((1,2)\).