Ekstrema funkcji to inaczej jej minimum i maksimum, tzn. jej wartości najmniejsze i największe.
Mówimy o ekstremach lokalnych (są nimi wszystkie ekstrema) oraz ekstremach globalnych (są nimi wartość najmniejsza i wartość największa w całej dziedzinie).
Sformułujmy podstawowe twierdzenia:
Twierdzenie (warunek konieczny istnienia ekstremum)
Jeśli funkcja ma pochodną w
i ma w
ekstremum to
.
Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia ekstremum)
Jeśli funkcja jest różniczkowalna na
oraz
to
ma w
maksimum.
Jeśli funkcja jest różniczkowalna na
oraz
to
ma w
minimum.
Innymi słowy funkcja ma w danym punkcie ekstremum jeśli jej pochodna zmienia w nim znak.
Przykład:
W punktach pochodna jest równa zeru oraz zmienia znak, zatem funkcja ma w tych punktach ekstrema lokalne, przy czym w
funkcja ma maksimum, natomiast w
,
funkcja ma minima.
Zadanie:
Znaleźć ekstrema funkcji:
a) ,
b) .
Odpowiedzi:
a) funkcja ma maksimum w ,
b) funkcja ma maksimum w i minimum w
.