Ekstremum funkcji – definicja, przykłady, zadania

Ekstrema funkcji to inaczej jej minimum i maksimum, tzn. jej wartości najmniejsze i największe.

Mówimy o ekstremach lokalnych (są nimi wszystkie ekstrema) oraz ekstremach globalnych (są nimi wartość najmniejsza i wartość największa w całej dziedzinie).

Sformułujmy podstawowe twierdzenia:

Twierdzenie (warunek konieczny istnienia ekstremum)

Jeśli funkcja $f$ ma pochodną w $x_0$ i ma w $x_0$ ekstremum to $f'(x_0)=0$ .

Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia ekstremum)

Jeśli funkcja $f$ jest różniczkowalna na $(a,b)$ oraz $\begin{cases} f'(x) >0 \operator{ dla } x\in (a,x_0) \\ f'(x) <0 \operator{ dla } x\in (x_0,b) \end{cases}$ to $f$ ma w $x_0$ maksimum.

Jeśli funkcja $f$ jest różniczkowalna na $(a,b)$ oraz $\begin{cases} f'(x) <0 \operator{ dla } x\in (a,x_0) \\ f'(x) >0 \operator{ dla } x\in (x_0,b) \end{cases}$ to $f$ ma w $x_0$ minimum.

Innymi słowy funkcja ma w danym punkcie ekstremum jeśli jej pochodna zmienia w nim znak.

Przykład:

$f(x) = x^4-8x^2 + 6$

$f'(x) = 4x^3-16x=4x(x^2-4)=0$

$x = 0 \vee x=2 \vee x=-2$

W punktach $x = 0 \vee x=2 \vee x=-2$ pochodna jest równa zeru oraz zmienia znak, zatem funkcja ma w tych punktach ekstrema lokalne, przy czym w $x = 0$ funkcja ma maksimum, natomiast w $x = -2$ , $x =2$ funkcja ma minima.

Zadanie:

Znaleźć ekstrema funkcji:

a) $f(x) = -3x^4 +4x^3$ ,

b) $f(x) = \frac {-x^2 +9}{x+5}$ .

Odpowiedzi:

a) funkcja ma maksimum w $x = 1$ ,

b) funkcja ma maksimum w $x = -1$ i minimum w $x = -9$ .

Polecamy również:

Przedziały monotoniczności – definicja

Przedziałami monotoniczności nazywamy przedziały, w których funkcja jest monotoniczna (tj. rosnąca, malejąca, nierosnąca, niemalejąca lub stała). Więcej »
Różniczka funkcji

Różniczka jest sposobem na poznanie przybliżonego przyrostu wartości funkcji. Różniczką funkcji ciągłej i różniczkowalnej w punkcie nazywamy... Więcej »
Wzór Taylora

Wzór Taylora jest narzędziem analizy matematycznej umożliwiającym przybliżanie funkcji wielomianami... Więcej »

Komentarze (0)

Ekstremum funkcji – definicja, przykłady, zadania

Przykład:

Zadanie:

Odpowiedzi:

Polecamy również:

Zobacz również

Przedziały monotoniczności – definicja

Różniczka funkcji

Wzór Taylora

Losowe zadania

Odnawialne źródła energii

Budowa nasion roślin okrytonasiennych

Starożytni autorzy i ich dzieła

Sposób rozmnażania i rozwój ssaków

Państwa i ich stolice