Ekstrema funkcji to inaczej jej minimum i maksimum, tzn. jej wartości najmniejsze i największe.
Mówimy o ekstremach lokalnych (są nimi wszystkie ekstrema) oraz ekstremach globalnych (są nimi wartość najmniejsza i wartość największa w całej dziedzinie).
Sformułujmy podstawowe twierdzenia:
Twierdzenie (warunek konieczny istnienia ekstremum)
Jeśli funkcja \(f\) ma pochodną w \(x_0\) i ma w \(x_0\) ekstremum to \(f'(x_0)=0\).
Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia ekstremum)
Jeśli funkcja \(f\) jest różniczkowalna na \((a,b)\) oraz \( \begin{cases} f'(x) >0 \operator{ dla } x\in (a,x_0) \\ f'(x) <0 \operator{ dla } x\in (x_0,b) \end{cases} \) to \(f\) ma w \(x_0\) maksimum.
Jeśli funkcja \(f\) jest różniczkowalna na \((a,b)\) oraz \( \begin{cases} f'(x) <0 \operator{ dla } x\in (a,x_0) \\ f'(x) >0 \operator{ dla } x\in (x_0,b) \end{cases} \) to \(f\) ma w \(x_0\) minimum.
Innymi słowy funkcja ma w danym punkcie ekstremum jeśli jej pochodna zmienia w nim znak.
Przykład:
\(f(x) = x^4-8x^2 + 6\)
\(f'(x) = 4x^3-16x=4x(x^2-4)=0\)
\(x = 0 \vee x=2 \vee x=-2\)
W punktach \(x = 0 \vee x=2 \vee x=-2\) pochodna jest równa zeru oraz zmienia znak, zatem funkcja ma w tych punktach ekstrema lokalne, przy czym w \(x = 0\) funkcja ma maksimum, natomiast w \(x = -2\), \(x =2\) funkcja ma minima.
Zadanie:
Znaleźć ekstrema funkcji:
a) \(f(x) = -3x^4 +4x^3\),
b) \(f(x) = \frac {-x^2 +9}{x+5}\).
Odpowiedzi:
a) funkcja ma maksimum w \(x = 1\),
b) funkcja ma maksimum w \(x = -1\) i minimum w \(x = -9\).