Wzór Taylora

Wzór Taylora jest narzędziem analizy matematycznej umożliwiającym rozwijanie funkcji w tzw. szereg Taylora, a zatem przybliżanie funkcji wielomianami.

Twierdzenie:

Niech f(x) ma w przedziale domkniętym zawierającym x_0 pochodne wszystkich rzędów do n+1-go rzędu włącznie. Wówczas dla każdego x z tego przedziału prawdziwy jest wzór

f(x)=f(x_0)+ \frac{x-x_0}{1!} f'(x_0)+\frac{(x-x_0)^2}{2!} f^{''}(x_0)+...+\frac{(x-x_0)^n}{n!} f^{(n)}(x_0)+R_n(x,x_0),

gdzie f^{(n)}(x_0) to pochodna n-tego rzędu w punkcie x_0 a składnik nazywany resztą R_n= \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} (dx)^{n+1} przy czym c \in (x_0,x) lub c \in (x,x_0).

 

Dodatkowo jeśli x_0=0 to powyższy wzór nazywamy wzorem Maclaurina. Wzór Maclaurina ma zatem postać:

f(x)=f(0)+ \frac{x}{1!} f'(0)+\frac{x^2}{2!} f^{''}(0)+...+\frac{x^n}{n!} f^{(n)}(0)+R_n(x,0)

Przykład:

Rozwiniemy funkcję f(x) = \ln (x+1) korzystając ze wzoru Maclaurina. Będzie to wielomian wykorzystujący pochodne do trzeciego rzędu włącznie.

f(0)=\ln1=0

f'(x)= \frac{1}{x+1} =(x+1)^{-1}

f'(0)= \frac{1}{1} =1

f^{''}(x)=-(x+1)^{-2}

f^{''}(0)=-1

f^{'''}(x)=2(x+1)^{-3}

f^{'''}(0)=2

A zatem ostatecznie możemy przybliżyć wartość funkcji f(x) = \ln (x+1) wielomianem

\ln(x+1)=0+ \frac{x}{1!}  \cdot 1+ \frac{x^2}{2!}  \cdot (-1)+ \frac{x^3}{3!}  \cdot 2
=x- \frac{1}{2} x^2+ \frac{1}{3} x^3

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 2 + 3 =
Ostatnio komentowane
Nie widzę sensu w nauce całej historii rolnictwa, jej początków.
Jakub • 2021-06-13 20:40:42
Haha
Karolinkoń • 2021-06-13 19:47:26
????
E¹² • 2021-06-12 10:48:48
uważam tekst za odpowiedni i wartościowy przyjemnie i prawidłowo powiedziany
grażyna • 2021-06-10 15:25:04
Super
Żukson • 2021-06-10 09:08:41