Wzór Taylora jest narzędziem analizy matematycznej umożliwiającym rozwijanie funkcji w tzw. szereg Taylora, a zatem przybliżanie funkcji wielomianami.
Twierdzenie:
Niech \(f(x)\) ma w przedziale domkniętym zawierającym \(x_0\) pochodne wszystkich rzędów do \(n+1\)-go rzędu włącznie. Wówczas dla każdego \(x\) z tego przedziału prawdziwy jest wzór
\(f(x)=f(x_0)+ \frac{x-x_0}{1!} f'(x_0)+\frac{(x-x_0)^2}{2!} f^{''}(x_0)+...+\frac{(x-x_0)^n}{n!} f^{(n)}(x_0)+R_n(x,x_0)\),
gdzie \(f^{(n)}(x_0)\) to pochodna \(n\)-tego rzędu w punkcie \(x_0\) a składnik nazywany resztą \(R_n= \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} (dx)^{n+1}\) przy czym \(c \in (x_0,x)\) lub \(c \in (x,x_0)\).
Dodatkowo jeśli \(x_0=0\) to powyższy wzór nazywamy wzorem Maclaurina. Wzór Maclaurina ma zatem postać:
\(f(x)=f(0)+ \frac{x}{1!} f'(0)+\frac{x^2}{2!} f^{''}(0)+...+\frac{x^n}{n!} f^{(n)}(0)+R_n(x,0)\)
Przykład:
Rozwiniemy funkcję \(f(x) = \ln (x+1)\) korzystając ze wzoru Maclaurina. Będzie to wielomian wykorzystujący pochodne do trzeciego rzędu włącznie.
\(f(0)=\ln1=0\)
\(f'(x)= \frac{1}{x+1} =(x+1)^{-1}\)
\(f'(0)= \frac{1}{1} =1\)
\(f^{''}(x)=-(x+1)^{-2}\)
\(f^{''}(0)=-1\)
\(f^{'''}(x)=2(x+1)^{-3}\)
\(f^{'''}(0)=2\)
A zatem ostatecznie możemy przybliżyć wartość funkcji \(f(x) = \ln (x+1)\) wielomianem
\(\ln(x+1)=0+ \frac{x}{1!} \cdot 1+ \frac{x^2}{2!} \cdot (-1)+ \frac{x^3}{3!} \cdot 2 =x- \frac{1}{2} x^2+ \frac{1}{3} x^3\)