Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Wzór Taylora

Wzór Taylora jest narzędziem analizy matematycznej umożliwiającym rozwijanie funkcji w tzw. szereg Taylora, a zatem przybliżanie funkcji wielomianami.

Twierdzenie:

Niech f(x) ma w przedziale domkniętym zawierającym x_0 pochodne wszystkich rzędów do n+1-go rzędu włącznie. Wówczas dla każdego x z tego przedziału prawdziwy jest wzór

f(x)=f(x_0)+ \frac{x-x_0}{1!} f'(x_0)+\frac{(x-x_0)^2}{2!} f^{''}(x_0)+...+\frac{(x-x_0)^n}{n!} f^{(n)}(x_0)+R_n(x,x_0),

gdzie f^{(n)}(x_0) to pochodna n-tego rzędu w punkcie x_0 a składnik nazywany resztą R_n= \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} (dx)^{n+1} przy czym c \in (x_0,x) lub c \in (x,x_0).

 

Dodatkowo jeśli x_0=0 to powyższy wzór nazywamy wzorem Maclaurina. Wzór Maclaurina ma zatem postać:

f(x)=f(0)+ \frac{x}{1!} f'(0)+\frac{x^2}{2!} f^{''}(0)+...+\frac{x^n}{n!} f^{(n)}(0)+R_n(x,0)

Przykład:

Rozwiniemy funkcję f(x) = \ln (x+1) korzystając ze wzoru Maclaurina. Będzie to wielomian wykorzystujący pochodne do trzeciego rzędu włącznie.

f(0)=\ln1=0

f'(x)= \frac{1}{x+1} =(x+1)^{-1}

f'(0)= \frac{1}{1} =1

f^{''}(x)=-(x+1)^{-2}

f^{''}(0)=-1

f^{'''}(x)=2(x+1)^{-3}

f^{'''}(0)=2

A zatem ostatecznie możemy przybliżyć wartość funkcji f(x) = \ln (x+1) wielomianem

\ln(x+1)=0+ \frac{x}{1!}  \cdot 1+ \frac{x^2}{2!}  \cdot (-1)+ \frac{x^3}{3!}  \cdot 2
=x- \frac{1}{2} x^2+ \frac{1}{3} x^3

Zobacz również

  • Szereg Taylora

    Szereg Taylora to przedstawienie funkcji za pomocą wielomianu w oparciu o wzór Taylora...

    Więcej

Losowe zadania

  • W oparciu o podaną informację zapisz równania reakcji otrzymywania amonikau

    Amoniak można otrzymywać na jedną z trzech metod. Pierwsza polega na bezpośredniej syntezie z pierwiastków, druga wykorzystuje termiczny rozkład chlorku amonu. Trzecia opiera się o reakcję polegającą na działaniu mocną zasadą na chlorek amonu. Zapisz w formie cząsteczkowej wszystkie 3 wymienione metody otrzymywania amoniaku.

    0 Odpowiedz Więcej
  • Definicja pojęcia mitu w odniesieniu do starożytnej Grecji

    Czym są mity? Zdefiniuj to pojęcie, wyróżnij rodzaje mitów oraz zastanów się, jaką funkcję pełniły w życiu starożytnych Greków.

    0 Odpowiedz Więcej
  • Określ kształt cząstek

    Spośród podanych cząsteczek o zerowym momencie dipolowym: CCl4, SiBr4, BCl3, BeI2, CH4, SiO2, SO3 wybierz te, które posiadają kształt planarny trygonalny lub tetraedryczny.

    0 Odpowiedz Więcej
  • Wspólne cechy stawonogów

    Wymień wspólne cechy wszystkich stawonogów oraz trzy grupy zwierząt, które do nich zaliczamy, a także wypisz po jednym przedstawicielu do każdej grupy.

    0 Odpowiedz Więcej
  • Błędy językowe

    Z poniższego tekstu wypisz zdania zawierające błędy językowe lub składniowe i przyporządkuj je do konkretmej kategorii błędu. Dziś przypada pierwszy dzień mojej kariery jako ucznia. Kiedy mama zawiozła mnie na rozpoczęcie roku, pomyślałem: "Ale fajny ta szkoła!" - rzeczywiście budynek prezentował się okazale. Jednak późn...

    0 Odpowiedz Więcej
Komentarze (0)
Wynik działania 3 + 5 =
Ostatnio komentowane
smieszny
helena • 2020-07-09 09:40:55
Pomylono kąty
dsf • 2020-06-22 16:11:37
wow
Kasia • 2020-06-17 11:55:30
jezu ale trudne
iwo • 2020-06-16 18:19:06
dzieki
halinka • 2020-06-15 11:00:28