Strona główna

/

Matematyka

/

Wzór Taylora

Wzór Taylora

Wzór Taylora jest narzędziem analizy matematycznej umożliwiającym rozwijanie funkcji w tzw. szereg Taylora, a zatem przybliżanie funkcji wielomianami.

Twierdzenie:

Niech $f(x)$ ma w przedziale domkniętym zawierającym $x_0$ pochodne wszystkich rzędów do $n+1$ -go rzędu włącznie. Wówczas dla każdego $x$ z tego przedziału prawdziwy jest wzór

$f(x)=f(x_0)+ \frac{x-x_0}{1!} f'(x_0)+\frac{(x-x_0)^2}{2!} f^{''}(x_0)+...+\frac{(x-x_0)^n}{n!} f^{(n)}(x_0)+R_n(x,x_0)$ ,

gdzie $f^{(n)}(x_0)$ to pochodna $n$ -tego rzędu w punkcie $x_0$ a składnik nazywany resztą $R_n= \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} (dx)^{n+1}$ przy czym $c \in (x_0,x)$ lub $c \in (x,x_0)$ .

Dodatkowo jeśli $x_0=0$ to powyższy wzór nazywamy wzorem Maclaurina. Wzór Maclaurina ma zatem postać:

$f(x)=f(0)+ \frac{x}{1!} f'(0)+\frac{x^2}{2!} f^{''}(0)+...+\frac{x^n}{n!} f^{(n)}(0)+R_n(x,0)$

Przykład:

Rozwiniemy funkcję $f(x) = \ln (x+1)$ korzystając ze wzoru Maclaurina. Będzie to wielomian wykorzystujący pochodne do trzeciego rzędu włącznie.

$f(0)=\ln1=0$

$f'(x)= \frac{1}{x+1} =(x+1)^{-1}$

$f'(0)= \frac{1}{1} =1$

$f^{''}(x)=-(x+1)^{-2}$

$f^{''}(0)=-1$

$f^{'''}(x)=2(x+1)^{-3}$

$f^{'''}(0)=2$

A zatem ostatecznie możemy przybliżyć wartość funkcji $f(x) = \ln (x+1)$ wielomianem

$\ln(x+1)=0+ \frac{x}{1!} \cdot 1+ \frac{x^2}{2!} \cdot (-1)+ \frac{x^3}{3!} \cdot 2 =x- \frac{1}{2} x^2+ \frac{1}{3} x^3$

Polecamy również:

Szereg Taylora

Szereg Taylora to przedstawienie funkcji za pomocą wielomianu w oparciu o wzór Taylora... Więcej »

Zobacz również

Szereg Taylora
Więcej

Losowe zadania

Komentarze (0)