1. Strona główna
    2. /
  2. Matematyka
    3. /
  3. Szereg Taylora

Szereg Taylora

Szereg Taylora to przedstawienie funkcji za pomocą wielomianu w oparciu o wzór Taylora.

Definicja:

Jeśli funkcja f(x) jest w punkcie x_0 nieskończenie wiele razy różniczkowalna (a zatem ma pochodne dowolnego rzędu) możemy rozwinąć ją w szereg następującej postaci:

\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{n!} f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n ,

gdzie f^{(n)}(x_0) oznacza f(x_0). Szereg ten nazywamy szeregiem Taylora. Dodatkowo, jeśli x_0 = 0 to mówimy o szeregu Maclaurina.

 

Rozwinięcia ważniejszych funkcji w szereg Maclaurina:

Funkcja eksponencjalna

e^x= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{x^n}{n!}

Funkcja logarytmiczna

\ln (x+1)= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n, -1 \le x \le 1

Funkcje trygonometryczne

\sin x = \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1 }=x- \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - ...

\cos x = \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n }= 1-\frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} -...

Szereg geometryczny

\frac{x^m}{1-x} = \sum_{n=m}^{ \infty } x^n, |x|<1.

Polecamy również:

Zobacz również

Losowe zadania

Komentarze (0)
Wynik działania 4 + 4 =
Ostatnio komentowane
Plan wydarzeń
niekompletne
• 2023-03-27 18:50:52
Traktat
d
• 2023-03-27 16:54:29
Węgry w późnym średniowieczu
Mfyjd
• 2023-03-27 15:16:24
Causative have
to przetlumacz te zdania na polski a nie takie pisanie bez sensu by cos dalej wytlumaczyc
• 2023-03-26 12:31:24
Dywizjon 303 - współcześni rycerze?
Ok
• 2023-03-25 17:47:03