Szereg Taylora

Szereg Taylora to przedstawienie funkcji za pomocą wielomianu w oparciu o wzór Taylora.

Definicja:

Jeśli funkcja f(x) jest w punkcie x_0 nieskończenie wiele razy różniczkowalna (a zatem ma pochodne dowolnego rzędu) możemy rozwinąć ją w szereg następującej postaci:

 \sum_{n=0}^{ \infty  }  \frac{1}{n!} f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n ,

gdzie f^{(n)}(x_0) oznacza f(x_0). Szereg ten nazywamy szeregiem Taylora. Dodatkowo, jeśli x_0 = 0 to mówimy o szeregu Maclaurina.

 

Rozwinięcia ważniejszych funkcji w szereg Maclaurina:

Funkcja eksponencjalna

e^x= \sum_{n=0}^{ \infty }  \frac{x^n}{n!}

Funkcja logarytmiczna

\ln (x+1)= \sum_{n=0}^{ \infty }  \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n, -1 \le x \le 1

Funkcje trygonometryczne

\sin x =  \sum_{n=0}^{ \infty }  \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1 }=x- \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - ...

\cos x =  \sum_{n=0}^{ \infty }  \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n }= 1-\frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} -...

Szereg geometryczny

 \frac{x^m}{1-x} = \sum_{n=m}^{ \infty } x^n, |x|<1.

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 4 + 2 =
Ostatnio komentowane
I cóż miał rację Marek Aureliusz który chciał podbić Germanię uderzeniem przez Mor...
• 2024-07-06 19:45:33
O tym, że zmienne w czasie pole elektryczne jest źródłem pola magnetycznego, napisał ...
• 2024-06-27 07:25:33
ok
• 2024-06-05 13:52:17
nadal nie umiem tego napisać
• 2024-06-04 10:48:42
Mógłby być jeszcze do tego cały utwór napisany.
• 2024-06-03 19:41:43