Szereg Taylora

Szereg Taylora to przedstawienie funkcji za pomocą wielomianu w oparciu o wzór Taylora.

Definicja:

Jeśli funkcja f(x) jest w punkcie x_0 nieskończenie wiele razy różniczkowalna (a zatem ma pochodne dowolnego rzędu) możemy rozwinąć ją w szereg następującej postaci:

 \sum_{n=0}^{ \infty  }  \frac{1}{n!} f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n ,

gdzie f^{(n)}(x_0) oznacza f(x_0). Szereg ten nazywamy szeregiem Taylora. Dodatkowo, jeśli x_0 = 0 to mówimy o szeregu Maclaurina.

 

Rozwinięcia ważniejszych funkcji w szereg Maclaurina:

Funkcja eksponencjalna

e^x= \sum_{n=0}^{ \infty }  \frac{x^n}{n!}

Funkcja logarytmiczna

\ln (x+1)= \sum_{n=0}^{ \infty }  \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n, -1 \le x \le 1

Funkcje trygonometryczne

\sin x =  \sum_{n=0}^{ \infty }  \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1 }=x- \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - ...

\cos x =  \sum_{n=0}^{ \infty }  \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n }= 1-\frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} -...

Szereg geometryczny

 \frac{x^m}{1-x} = \sum_{n=m}^{ \infty } x^n, |x|<1.

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 5 + 3 =
Ostatnio komentowane
żoną Jaroslawa Iwaszkiewicza była pisarka i tłumaczka Anna Iwaszkiewiczowa z domu Lilp...
Iwona • 2021-07-19 18:40:47
"Oda do radości" to utwór Beethovena. Schiller napisał "Do Radości".
Germanista • 2021-07-10 02:59:47
Zgromadzenie Narodowe (Konwent) nie było "rządem rewolucyjnym", a parlamentem.
Andrzej • 2021-07-06 08:15:34
Czy naprawdę nie dało się tego bardziej spłycić? Gdzie jest drugi syn? Ten który p...
Andrzej Koraben • 2021-06-30 11:34:39
Ciekawe jak daleko czasowo sięgają Politycy. 2050 ? Czyli doprzodu do tyłu 2023. Grolsz...
Nick Radek • 2021-06-27 07:22:58