Szereg Taylora to przedstawienie funkcji za pomocą wielomianu w oparciu o wzór Taylora.
Definicja:
Jeśli funkcja \(f(x)\) jest w punkcie \(x_0\) nieskończenie wiele razy różniczkowalna (a zatem ma pochodne dowolnego rzędu) możemy rozwinąć ją w szereg następującej postaci:
\( \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{n!} f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n \),
gdzie \(f^{(n)}(x_0)\) oznacza \(f(x_0)\). Szereg ten nazywamy szeregiem Taylora. Dodatkowo, jeśli \(x_0 = 0\) to mówimy o szeregu Maclaurina.
Rozwinięcia ważniejszych funkcji w szereg Maclaurina:
Funkcja eksponencjalna
\(e^x= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{x^n}{n!} \)
Funkcja logarytmiczna
\(\ln (x+1)= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n\), \(-1 \le x \le 1\)
Funkcje trygonometryczne
\(\sin x = \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1 }=x- \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - ...\)
\(\cos x = \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n }= 1-\frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} -...\)
Szereg geometryczny
\( \frac{x^m}{1-x} = \sum_{n=m}^{ \infty } x^n\), \(|x|<1\).