Szereg Taylora

Szereg Taylora to przedstawienie funkcji za pomocą wielomianu w oparciu o wzór Taylora.

Definicja:

Jeśli funkcja $f(x)$ jest w punkcie $x_0$ nieskończenie wiele razy różniczkowalna (a zatem ma pochodne dowolnego rzędu) możemy rozwinąć ją w szereg następującej postaci:

$\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{n!} f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n$ ,

gdzie $f^{(n)}(x_0)$ oznacza $f(x_0)$ . Szereg ten nazywamy szeregiem Taylora. Dodatkowo, jeśli $x_0 = 0$ to mówimy o szeregu Maclaurina.

Rozwinięcia ważniejszych funkcji w szereg Maclaurina:

Funkcja eksponencjalna

$e^x= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{x^n}{n!}$

Funkcja logarytmiczna

$\ln (x+1)= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n$ , $-1 \le x \le 1$

Funkcje trygonometryczne

$\sin x = \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1 }=x- \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - ...$

$\cos x = \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n }= 1-\frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} -...$

Szereg geometryczny

$\frac{x^m}{1-x} = \sum_{n=m}^{ \infty } x^n$ , $|x|<1$ .

Polecamy również:

Różniczka funkcji

Różniczka jest sposobem na poznanie przybliżonego przyrostu wartości funkcji. Różniczką funkcji ciągłej i różniczkowalnej w punkcie nazywamy... Więcej »
Ekstremum funkcji – definicja, przykłady, zadania

Ekstrema funkcji to inaczej jej minimum i maksimum, tzn. jej wartości najmniejsze i największe. Więcej »
Przedziały monotoniczności – definicja

Przedziałami monotoniczności nazywamy przedziały, w których funkcja jest monotoniczna (tj. rosnąca, malejąca, nierosnąca, niemalejąca lub stała). Więcej »

Komentarze (0)

Szereg Taylora

Definicja:

Polecamy również:

Zobacz również

Różniczka funkcji

Ekstremum funkcji – definicja, przykłady, zadania

Przedziały monotoniczności – definicja

Losowe zadania

Ludwik Węgierski jako król Polski - konflikty, regencja, namiestnictwo

Teatr grecki

Zlodowacenia w Polsce

Znaczenie pierścienic

I wojna światowa