Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Kongruencja

Kongruencja (przystawanie) jest pojęciem z teorii liczb związanym z resztą z dzielenia. Jeśli dwie liczby mają jednakową resztę z dzielenia przez daną trzecią liczbę mówimy, że pozostają ze sobą w kongruencji (przystają do siebie).

Pojęcie kongruencji jako pierwszy wprowadził Gauss w swoim dziele Disquisitiones Arithmeticae wydanym w 1801 roku. Nazwa pochodzi od łacińskiego słowa congruere - iść razem, zgadzać się.

 

Definicja

Niech m będzie liczbą naturalną. Mówimy, że liczba całkowita a przystaje do liczby całkowitej b modulo m, jeśli m|a-b (tzn. m dzieli różnicę liczb a i b). Tak określoną relację nazywamy kongruencją (przystawaniem modulo m) i piszemy a\equiv b \pmod{m} .

 

Uwaga:

Zapis m|n oznacza podzielność liczby n przez liczbę m, np. 10|50 odczytamy jako "10 dzieli 50" lub 50 jest podzielne przez 10.

 

Przykład:

Możemy napisać 5\equiv 11 \pmod{2} , ponieważ reszta z dzielenia obu tych liczb przez 2 jest taka sama. Lub patrząc na to inaczej: 5-11=-6 jest liczbą podzielną przez 2.

Podobnie 105\equiv 101 \pmod{2} , bo 105-101=4 oraz 2|4.

Nie prawda, że 102\equiv 100 \pmod{3} , ponieważ 102-100=2, a 2 nie jest podzielne przez 3.

 

Własności

Kongruencje mają następujące własności:

1) a\equiv a \pmod{m} (zwrotność kongruencji).

2) Jeśli a\equiv b \pmod{m} to b\equiv a \pmod{m} (symetryczność kongruencji).

3) Jeśli a\equiv b \pmod{m} b\equiv c \pmod{m} to a\equiv c \pmod{m} (przechodniość kongruencji).

4) Niech a, b, c i d będą liczbami całkowitymi oraz m będzie liczbą naturalną. Wówczas jeśli a\equiv b \pmod{m} c\equiv d \pmod{m} to:

- a+c\equiv b+d \pmod{m} ,

a-c\equiv b-d \pmod{m} ,

ac\equiv bd \pmod{m} .

5) Jeśli a\equiv b \pmod{m} to a^k \equiv b^k \pmod{m} , gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą.

 

Przykład:

Sprawdźmy, że własności podane w punkcie 4) zachodzą dla a = 5b=11c=105d=101 przy  \pmod{2} . Będzie to jednocześnie przykład zastosowania podanych w tym punkcie własności.

Mamy 5\equiv 11 \pmod{2} oraz 105\equiv 101 \pmod{2} .

Dodajmy te kongruencje stronami.

5+105\equiv 11+101 \pmod{2}

110\equiv 122 \pmod{2}

122-110=12, jest to liczba podzielna przez 2, zatem własność dodawania kongruencji stronami zachodzi.

Podobnie z odejmowaniem:

5-105\equiv 11-101 \pmod{2}

-100\equiv -90 \pmod{2}

-100-(-90)=-100+90=-10, 2|-10.

W przypadku mnożenia stronami:

5 \cdot 105\equiv 11 \cdot 101 \pmod{2}

525\equiv 1111 \pmod{2}

525-1111=586, jest to liczba parzysta, zatem własność jest spełniona.

Zobacz również

  • Cechy podzielności liczb

    Z podzielnością liczb wiążą się następujące zasady: Liczba jest podzielna przez 2 jeśli jej ostatnia cyfra jest...

    Więcej
  • Liczby pierwsze i liczby złożone

    W teorii liczb niezmiernie ważne jest zagadnienie liczb pierwszych i złożonych. Są to pojęcia zarazem bardzo elementarne - jest je w stanie zrozumieć nawet amator nie zajmujący się matematyką na codzień - jak i wysoce zaawansowane - znajdowanie liczb pierwszych jest jednym z najważniejszych obecnie problemów analizowanych przez za...

    Więcej
  • Największy wspólny dzielnik

    W zagadnieniach związanych z podzielnością liczb wygodnie jest posługiwać się pojęciem największego wspólnego dzielnika (NWD). Największym wspólnym dzielnikiem dwóch liczb nazywamy największą liczbę naturalną dzielącą obie te liczby.

    Więcej
  • Najmniejsza wspólna wielokrotność

    Zagadnieniem bliźniaczym do największego wspólnego dzielnika jest znajdowanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (NWW). Najmniejszą wspólną wielokrotnością dwóch liczb nazywamy najmniejszą liczbę naturalną, której dzielnikami są te liczby. Pojęcie to można uogólnić dla dowolnej ilości lic...

    Więcej
  • Reszta z dzielenia

    W zagadnieniach związanych z podzielnością istotne miejsce zajmuje reszta z dzielenia. Dzielenie liczb całkowitych może przebiegać na dwa sposoby, z resztą oraz bez reszty.

    Więcej

Losowe zadania

  • Modyfikacje łodygi roślin nasiennych

    Łodyga jest organem, który przede wszystkim utrzymuje roślinę w pionie. Są jednak rośliny, u których pełni ona dodatkowe funkcje. Podaj po jednym przykładzie rośliny, u której łodyga ma funkcję: spichrzową -  magazynującą wodę - czepną - rozmnażania wegetatywnego - 

    0 Odpowiedz Więcej
  • Tkanki roślinne

    Wymień rodzaje tkanek występujących w roślinach.

    0 Odpowiedz Więcej
  • Wskaż zdania fałszywe

    Poniżej zebrano kilka stwierdzeń dotyczących właściwości litowców. Wskaż te zdania, które są fałszywe: 1. Litowce w tlenkach znajdują się na +1 stopniu utlenienia, natomiast w wodorkach na -1 2. Litowce w reakcji z wodą z wodą tworzą obok roztworu zasady gazowy wodór 3. Charakter zasadowy wodorotlenków l...

    0 Odpowiedz Więcej
  • Starożytni autorzy i ich dzieła

    Połącz nazwisko z krótkim opisem postaci autora oraz tytułem dzieła. Następnie ułóż autorów w porządku chronologicznym (zacznij od najdawniejszego).

    0 Odpowiedz Więcej
  • Zapisz równania reakcji lizyny

    Lizyna jest jednym z egzogennych aminokwasów, wchodzącym w skład w białek histonowych wiążących DNA. Jej budowę opisuje wzór półstrukturalny: H2N-CH(-(CH2)4NH2)-COOH Zapisz równania reakcji lizyny z kwasem solnym, wodorotlenkiem sodu oraz etanolem.

    0 Odpowiedz Więcej
Komentarze (0)
Wynik działania 1 + 1 =
Ostatnio komentowane
Pomylono kąty
dsf • 2020-06-22 16:11:37
wow
Kasia • 2020-06-17 11:55:30
jezu ale trudne
iwo • 2020-06-16 18:19:06
dzieki
halinka • 2020-06-15 11:00:28
Rzym podbity przez barbarzyńców powoli całkowicie zamierał. Styl romański jest uprosz...
Badacz wlotów i upadków cywilizacji • 2020-06-11 21:16:11