Pozycyjne systemy liczbowe

System liczbowy to ogół zasad dotyczących zapisu i nazewnictwa liczb. Jeśli zapis i nazwy zależą od pozycji, na której zapisana jest cyfra danej liczby, to system nazywany jest pozycyjnym.

 

Na codzień posługujemy się systemem dziesiętnym, liczba składa się z jedności, dziesiątek, setek, tysięcy, itd., oraz części dziesiątych, setnych, tysięcznych, itd. Oprócz systemu dziesiętnego istnieją także inne pozycyjne systemy liczbowe - system binarny, system szesnastkowy, dwunastkowy, trójkowy, itd. Wiele z nich znajduje zastosowanie głównie w informatyce, w zapisie danych i przetwarzaniu informacji (wykonywanie operacji na innych systemach liczbowych często wymaga mniej zasobów pamięci komputera).

 

W systemie dziesiętnym używanych jest 10 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

System dwójkowy (binarny) posługuje się jedynie dwoma: 0, 1.

System trójkowy trzema: 0, 1, 2.

Itd.

Dla systemów wykorzystujących więcej niż 10 cyfr, np. systemu szesnastkowego czy dwunatkowego, w miejsce kolejnych cyfr wstawiane są kolejne litery alfabetu, A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, itd., Dla przykładu zapis 12A oznacza liczbę w systemie szesnastkowym.

 

W ogólności, zapis liczby w systemie o podstawie \(b\) przybiera następującą postać:

\((a _{n}a _{n-1}...a _{2}a _{1}a _{0}.c _{1}c _{2} c _{3}... ) _{b} = a _{n}b ^{n}+ a _{n-1}b ^{n-1}+...+a _{2}b ^{2}+a _{1}b ^{1}+a _{0}b ^{0}+ c _{1}b ^{-1}+c _{2}b ^{-2}+ c _{3}b ^{-3}+...\),

gdzie \(a _{1} \) oznacza cyfrę jedności, \(a _{2} \) cyfrę dziesiątek, itd., natomiast \(c _{1} \) część dziesiętną, \(c _{2} \) część setną, itd.

 

Przykład:

123₁₀= 1 x 10² + 2 x 10¹ + 3 * 10⁰ - liczba 123 w dziesiętnym systemie liczbowym, rozpisana wg powyższej reguły.

1001₂ = 1 x 2³ + 0 x 2² + 0 x 2¹ + 1 x 2⁰ = 8 + 0 + 0 + 1 = 9₁₀ - liczba 9 zapisana w systemie dwujkowym ma postać 1001.

12A₁₆ = 1 x 16² + 2 x 16¹ + A x 16⁰ = 256 + 32 + 10 = 298₁₀ - liczba 298 zapisana w systemie szestnastkowym ma postać 12A.

 

Zadanie:

Zapisać podane liczby w systemie dziesiętnym:

a) 101001₂,

b) 1210121₃, 

c) 5555₈,

d) 4A1B₁₆.

 

Odpowiedzi:

a) 41,

b) 1312, 

c) 2925,

d) 18971.