O dwóch wielkościach mówimy, że są proporcjonalne, kiedy ich iloraz bądź iloczyn jest wielkością stałą. W pierwszym przypadku mamy do czynienia z proporcjonalnością prostą, w drugim natomiast - z odwrotną.
W proporcjonalności prostej jedna wielkość jest wprost proporcjonalna do drugiej.
W proporcjonalności odwrotnej jedna liczba jest odwrotnie proporcjonalna do drugiej.
Współczynnik proporcjonalności to stała określająca proporcję między dwoma wielkościami. Dla proporcjonalności prostej jest nim iloraz obu tych wielkości, natomiast dla proporcjonalności prostej - ich iloczyn.
Przykład:
Jedna koszula kosztuje 30 złotych, dwie koszule 60 złotych, trzy koszule 90 złotych, itd. - jest to proporcjonalność prosta - ilość koszul jest wprost proporcjonalna do ich ceny. Współczynnik proporcjonalności ilości koszul do ich ceny wynosi 1:30.
Jedna osoba wykona pracę w cztery godziny, dwie osoby w dwie godziny, cztery osoby w godzinę, itd. - jest to proporcjonalność odwrotna - liczba osób potrzebnych do wykonania pracy jest odwrotnie proporcjonalna do czasu pracy, współczynnik proporcjonalności wynosi 4.
W proporcjonalności prostej wzrost jednej z wielkości pociąga za sobą wzrost drugiej z wielkości.
W proporcjonalności odwrotnej wzrost jednej z wielkości pociąga za sobą spadek drugiej z wielkości.
Przykład:
Jest to postawienia ogrodzenie długości 50 metrów. Wiemy, że trzech robotników wykona tą pracę w trzy dni, pracując po osiem godzin dziennie. Ile dni wykonanie tej samej pracy zajmie dziewięciu robotnikom pracującym po dwie godziny dziennie?
Zapiszmy dane z zadania w następujący sposób:
3 robotników \(\leftrightarrow\) 8 h \(\leftrightarrow\) 3 dni
Jeśli trzech robotników wykona pracę w trzy dni, to jeden robotnik wykona pracę w dziewięć dni (bo będzie miał do wykonania trzy razy więcej pracy).
1 robotników \(\leftrightarrow\) 8 h \(\leftrightarrow\) 9 dni
Ale praca ma trwać nie osiem godzin dziennie, a dwie - stąd zajmie ona cztery razy więcej czasu (tj. potrzeba będzie cztery razy tyle dni, co gdyby pracować po osiem godzin dziennie).
1 robotnik \(\leftrightarrow\) 2 h \(\leftrightarrow\) 36 dni
Mamy policzone ile dni pracowałby nad ogrodzeniem jeden robotnik, pracując dwie godziny dziennie. Teraz musimy przeskalować wielkości tak, by dostosować je do dziewięciu robotników - zajmie im to zatem dziewięć razy mniej czasu (tj. potrzeba będzie dziewięć razy mniej dni).
9 robotników \(\leftrightarrow\) 2 h \(\leftrightarrow\) 4 dni
Ostatecznie zatem, praca trwać będzie cztery dni.
Zadania:
1. Dwa koty zjadają trzy konserwy dziennie. Ile potrzeba konserw dla czterech kotów?
2. Dwie koparki potrzebują dziesięć godzin na wykopanie dołu. Ile godzin potrzebuje pięć koparek na wykopanie takiego samego dołu?
Odpowiedzi:
1. Sześć konserw.
2. Cztery godziny.