Niewymierność - usuwanie niewymierności z mianownika

Wykonując działania na ułamkach często możemy spotkać się z problemem niewymierności w mianowniku.

Niewymiernością mianownika nazywamy sytuację, kiedy mianownik jest liczbą niewymierną - najczęściej mamy na myśli pierwiastek, bądź sumę czy różnicę pierwiastka z jakąś liczbą naturalną.

Pierwiastek w mianowniku - usuwanie niewymierności

W takim przypadku gdy w mianowniku jest sam pierwiastek postępujemy w sposób następujący:

$\frac{a}{ \sqrt{x} } = \frac{a\cdot \sqrt{x}}{ \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} } = \frac{a\sqrt{x}}{ (\sqrt{x})^{2} } = \frac{a\sqrt{x}}{ x } usuwanie niewymierności z mianownika$ - rozszerzyliśmy ułamek przez pierwiastek z mianownika, dzięki czemu przenieśliśmy niewymierność do licznika.

Przykład:

$\frac{3}{ \sqrt{2} } = \frac{3\cdot \sqrt{2}}{ \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} } = \frac{3\sqrt{2}}{ (\sqrt{2})^{2} } = \frac{3\sqrt{2}}{ 2 } usuwanie niewymierności z mianownika$

$\frac{-4}{ 5\sqrt{2} } = \frac{-4\cdot \sqrt{2}}{ 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} } = \frac{-4\sqrt{2}}{ 5(\sqrt{2})^{2} } = \frac{-4\sqrt{2}}{ 5\cdot2 }=\frac{-4\sqrt{2}}{ 10 } usuwanie niewymierności z mianownika$

Suma lub różnica z pierwiastkiem w mianowniku - usuwanie niewymierności

Kiedy w mianowniku znajduje się suma bądź różnica z pierwiastkiem - należy skorzystać z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia:

$\frac{a}{ b+\sqrt{x} } = \frac{a\cdot (b-\sqrt{x})}{(b+ \sqrt{x}) \cdot (b-\sqrt{x}) } = \frac{ab-a\sqrt{x}}{ b^{2}-(\sqrt{x})^{2} } = \frac{ab-a\sqrt{x}}{b^{2}-x } usuwanie niewymierności z mianownika$

$\frac{a}{ b-\sqrt{x} } = \frac{a\cdot (b+\sqrt{x})}{(b- \sqrt{x}) \cdot (b+\sqrt{x}) } = \frac{ab+a\sqrt{x}}{ b^{2}-(\sqrt{x})^{2} } = \frac{ab+a\sqrt{x}}{b^{2}-x } usuwanie niewymierności z mianownika$

Przykład:

$\frac{-8}{ 2+\sqrt{3} } = \frac{-8\cdot (2-\sqrt{3})}{(2+ \sqrt{3}) \cdot (2-\sqrt{3}) } = \frac{-8\cdot 2+8\sqrt{3}}{ 2^{2}-(\sqrt{3})^{2} } = \frac{8\sqrt{3}-16}{4-3 } = 8\sqrt{3}-16 usuwanie niewymierności z mianownika$

Usuwanie niewymierności z mianownika - zadania:

Usuń niewymierność z mianownika następujących ułamków:

a) $\frac{3}{ 2\sqrt{3} }$ ,

b) $\frac{1}{ -3\sqrt{2} }$ ,

c) $\frac{2}{ \sqrt{2}+3 }$ ,

d) $\frac{2}{ 1-\sqrt{7} }$ .

Odpowiedzi:

a) $\frac{ \sqrt{3} }{2}$ ,

b) $\frac{- \sqrt{2} }{6}$ ,

c) $\frac{6 - 2 \sqrt{2} }{7}$ ,

d) $\frac{-2-2 \sqrt{7} }{6}$ .

Polecamy również:

Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenie algebraiczne to ciąg znaków (symboli) mających sens matematyczny, czyli zmiennych lub liczb. Z wyrażeń algebraicznych składają się zdania logiczne, czyli równania, nierówności, twierdzenia, itd. Więcej »
Własności działań

Działania na liczbach i zmiennych cechują się określonymi własnościami. Są nimi na przykład przemienność, łączność i rozdzielność. Więcej »
Wzory skróconego mnożenia

Kwadrat sumy | Kwadrat różnicy | Sześcian sumy | Sześcian różnicy | Różnica kwadratów | Suma sześcianów | Różnica sześcianów | Wzór dwumianowy Newtona
Wartość bezwzględna

Wartość bezwzględna to specyficzne działanie, przekształcające każdą zadaną liczbę na liczbę dodatnią. Innymi słowy, wartość bezwzględna podaje jaka jest wartość danej liczby, bez względu na jej znak. Wartość bezwzględna bywa inaczej nazywana modułem. Więcej »
Logarytmy

Działaniem powiązanym z potęgowaniem jest logarytm. Więcej »

Komentarze (0)

Niewymierność - usuwanie niewymierności z mianownika

Pierwiastek w mianowniku - usuwanie niewymierności

Suma lub różnica z pierwiastkiem w mianowniku - usuwanie niewymierności

Usuwanie niewymierności z mianownika - zadania:

Polecamy również:

Zobacz również

Wyrażenia algebraiczne

Własności działań

Wzory skróconego mnożenia

Wartość bezwzględna

Logarytmy

Losowe zadania

Oblicz liczbę atomową pierwiastka X

Oblicz objętość jaką zajmuje mieszanina 2 gazów

Poziomy różnorodności biologicznej

Etapy kiełkowania nasion

Rodzaje endocytozy