Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Niewymierność - usuwanie niewymierności z mianownika

Ostatnio komentowane
KPK to podstawa prawna jednak nieograniczona do danego kraju dr Arletta Bolesta adwokat ...
Arletta Bolesta • 2019-04-21 08:49:52
karol jest najlepszy
KAROL • 2019-04-15 11:54:08
Ciekawe
Roster • 2019-04-14 13:56:04
Chyba autorowi kontrkultura pomyliła się z kulturą alternatywną. Polecam się doinform...
K2376 • 2019-04-13 13:14:03
szkoda, że nie ma nic na temat ''Tędy i owędy''. :(
młoda_polonistka • 2019-04-13 13:09:56
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Wykonując działania na ułamkach często możemy spotkać się z problemem niewymierności w mianowniku.

Niewymiernością mianownika nazywamy sytuację, kiedy mianownik jest liczbą niewymierną - najczęściej mamy na myśli pierwiastek, bądź sumę czy różnicę pierwiastka z jakąś liczbą naturalną.

Pierwiastek w mianowniku - usuwanie niewymierności

W takim przypadku gdy w mianowniku jest sam pierwiastek postępujemy w sposób następujący:

 \frac{a}{ \sqrt{x} } =  \frac{a\cdot \sqrt{x}}{ \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} } = \frac{a\sqrt{x}}{ (\sqrt{x})^{2} } = \frac{a\sqrt{x}}{ x } usuwanie niewymierności z mianownika- rozszerzyliśmy ułamek przez pierwiastek z mianownika, dzięki czemu przenieśliśmy niewymierność do licznika.

Przykład:

 \frac{3}{ \sqrt{2} } =  \frac{3\cdot \sqrt{2}}{ \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} } = \frac{3\sqrt{2}}{ (\sqrt{2})^{2} } = \frac{3\sqrt{2}}{ 2 } usuwanie niewymierności z mianownika

 \frac{-4}{ 5\sqrt{2} } =  \frac{-4\cdot \sqrt{2}}{ 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} } = \frac{-4\sqrt{2}}{ 5(\sqrt{2})^{2} } = \frac{-4\sqrt{2}}{ 5\cdot2 }=\frac{-4\sqrt{2}}{ 10 } usuwanie niewymierności z mianownika

Suma lub różnica z pierwiastkiem w mianowniku - usuwanie niewymierności

Kiedy w mianowniku znajduje się suma bądź różnica z pierwiastkiem - należy skorzystać z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia:

 \frac{a}{ b+\sqrt{x} } =  \frac{a\cdot (b-\sqrt{x})}{(b+ \sqrt{x}) \cdot (b-\sqrt{x}) } = \frac{ab-a\sqrt{x}}{ b^{2}-(\sqrt{x})^{2} } = \frac{ab-a\sqrt{x}}{b^{2}-x } usuwanie niewymierności z mianownika

 \frac{a}{ b-\sqrt{x} } =  \frac{a\cdot (b+\sqrt{x})}{(b- \sqrt{x}) \cdot (b+\sqrt{x}) } = \frac{ab+a\sqrt{x}}{ b^{2}-(\sqrt{x})^{2} } = \frac{ab+a\sqrt{x}}{b^{2}-x } usuwanie niewymierności z mianownika

Przykład:

  \frac{-8}{ 2+\sqrt{3} } =  \frac{-8\cdot (2-\sqrt{3})}{(2+ \sqrt{3}) \cdot (2-\sqrt{3}) } = \frac{-8\cdot 2+8\sqrt{3}}{ 2^{2}-(\sqrt{3})^{2} } = \frac{8\sqrt{3}-16}{4-3 } = 8\sqrt{3}-16 usuwanie niewymierności z mianownika

 

Usuwanie niewymierności z mianownika - zadania:

Usuń niewymierność z mianownika następujących ułamków:

a)   \frac{3}{ 2\sqrt{3} },

b)  \frac{1}{ -3\sqrt{2} },

c)  \frac{2}{ \sqrt{2}+3 },

d)  \frac{2}{ 1-\sqrt{7} }.

 

Odpowiedzi:

a)  \frac{ \sqrt{3} }{2} ,

b)  \frac{- \sqrt{2} }{6} ,

c)  \frac{6 - 2 \sqrt{2} }{7} ,

d)  \frac{-2-2 \sqrt{7} }{6}

Polecamy również:

Komentarze (0)
3 + 2 =