Wykonując działania na ułamkach często możemy spotkać się z problemem niewymierności w mianowniku.
Niewymiernością mianownika nazywamy sytuację, kiedy mianownik jest liczbą niewymierną - najczęściej mamy na myśli pierwiastek, bądź sumę czy różnicę pierwiastka z jakąś liczbą naturalną.
Pierwiastek w mianowniku - usuwanie niewymierności
W takim przypadku gdy w mianowniku jest sam pierwiastek postępujemy w sposób następujący:
\( \frac{a}{ \sqrt{x} } = \frac{a\cdot \sqrt{x}}{ \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} } = \frac{a\sqrt{x}}{ (\sqrt{x})^{2} } = \frac{a\sqrt{x}}{ x } usuwanie niewymierności z mianownika\)- rozszerzyliśmy ułamek przez pierwiastek z mianownika, dzięki czemu przenieśliśmy niewymierność do licznika.
Przykład:
\( \frac{3}{ \sqrt{2} } = \frac{3\cdot \sqrt{2}}{ \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} } = \frac{3\sqrt{2}}{ (\sqrt{2})^{2} } = \frac{3\sqrt{2}}{ 2 } usuwanie niewymierności z mianownika\)
\( \frac{-4}{ 5\sqrt{2} } = \frac{-4\cdot \sqrt{2}}{ 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} } = \frac{-4\sqrt{2}}{ 5(\sqrt{2})^{2} } = \frac{-4\sqrt{2}}{ 5\cdot2 }=\frac{-4\sqrt{2}}{ 10 } usuwanie niewymierności z mianownika\)
Suma lub różnica z pierwiastkiem w mianowniku - usuwanie niewymierności
Kiedy w mianowniku znajduje się suma bądź różnica z pierwiastkiem - należy skorzystać z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia:
\( \frac{a}{ b+\sqrt{x} } = \frac{a\cdot (b-\sqrt{x})}{(b+ \sqrt{x}) \cdot (b-\sqrt{x}) } = \frac{ab-a\sqrt{x}}{ b^{2}-(\sqrt{x})^{2} } = \frac{ab-a\sqrt{x}}{b^{2}-x } usuwanie niewymierności z mianownika\)
\( \frac{a}{ b-\sqrt{x} } = \frac{a\cdot (b+\sqrt{x})}{(b- \sqrt{x}) \cdot (b+\sqrt{x}) } = \frac{ab+a\sqrt{x}}{ b^{2}-(\sqrt{x})^{2} } = \frac{ab+a\sqrt{x}}{b^{2}-x } usuwanie niewymierności z mianownika\)
Przykład:
\( \frac{-8}{ 2+\sqrt{3} } = \frac{-8\cdot (2-\sqrt{3})}{(2+ \sqrt{3}) \cdot (2-\sqrt{3}) } = \frac{-8\cdot 2+8\sqrt{3}}{ 2^{2}-(\sqrt{3})^{2} } = \frac{8\sqrt{3}-16}{4-3 } = 8\sqrt{3}-16 usuwanie niewymierności z mianownika\)
Usuwanie niewymierności z mianownika - zadania:
Usuń niewymierność z mianownika następujących ułamków:
a) \( \frac{3}{ 2\sqrt{3} }\),
b) \( \frac{1}{ -3\sqrt{2} }\),
c) \( \frac{2}{ \sqrt{2}+3 }\),
d) \( \frac{2}{ 1-\sqrt{7} }\).
Odpowiedzi:
a) \( \frac{ \sqrt{3} }{2} \),
b) \( \frac{- \sqrt{2} }{6} \),
c) \( \frac{6 - 2 \sqrt{2} }{7} \),
d) \( \frac{-2-2 \sqrt{7} }{6}\).