Istnieje wiele metod rozwiązywania układów równań liniowych.
Do najbardziej elementarnych należą trzy z nich:
(1) rozwiązywanie układu równań przez podstawienie,
(2) rozwiązywanie układu równań przez dodanie stronami,
(3) metoda wyznacznikowa (skorzystanie z tzw. wzorów Cramera).
Rozwiązywanie układu równań przez podstawienie polega na tym, że najpierw z jednego z równań wyprowadzamy jedną zmienną, a następnie podstawiamy ją do drugiego równania - tym samym sprowadzając je do postaci zwykłego równania liniowego z jedną zmienną.
Przykład:
\( \begin{cases} 4x + 3y = 0 \\ 2x -y = 5 \end{cases} \)
\(2x -y = 5 \Rightarrow y = 2x -5\) - z drugiego równania wyprowadzamy zmienną \(y\)
\(4x + 3(2x-5)=0\) - wstawiamy wyprowadzoną zmienną do pierwszego równania
\(4x + 6x = 15\)
\(10 x = 15\)
\(x = \frac{3}{2} = 1,5\) - wyliczyliśmy pierwszą zmienną
\(y = 2 \cdot \frac{3}{2} -5 = 3-5 = -2\) - korzystając z wyliczonej pierwszej zmiennej, oraz drugiego równania, znajdujemy drugą zmienną.
Rozwiązywanie układów przez dodawanie stronami polega na tym, by doprowadzić oba równania do postaci, w której parametry przy jednej ze zmiennych sumują się do zera. Wówczas dodając oba równania (tzn. lewe strony obu równań oraz prawe strony obu równań) otrzymujemy nawet równanie, już z jedną zmienną - z którego możemy wyliczyć wartość tej zmiennej, by następnie - po powrocie do któregoś z równań wyjściowych - znaleźć drugą zmienną.
Przykład:
\( \begin{cases} 4x + 3y = 0 \\ 2x -y = 5 \end{cases} \) - ten sam układ równań rozwiążemy drugą metodą
\( \begin{cases} 4x + 3y = 0 \\ -4x +2y =-10 \end{cases} \) - na początek drugie równanie pomnożyliśmy przez -2 - teraz w obu równaniach parametry przez zmiennej \(x\) sumują się do zera więc możemy równania dodać stronami\(3y + 2y = -10\)
- zmienna \(x\) zredukowała się
\(5y = -10\)
\(y = -2\) - policzyliśmy jedną ze zmiennych, teraz - korzystając z niej i z jednego z równań - znajdziemy drugą
\(4x + 3 \cdot (-2) = 0\) - wstawiamy wyliczoną wartość do pierwszego równania
\(4x = 6 \Rightarrow x = \frac{3}{2} \)
Do użycia wzorów Cramera wymagana jest znajomość wyznaczników. Wyznaczniki drugiego stropnia oznaczamy \(detW\) i liczymy w następujący sposób:
\(\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc\)
Dla każdego układu równań zdefiniowane są trzy wyznaczniki, wyznacznik główny \(detA\), wyznacznik zmiennej \(x\), \(detA_{x}\) oraz wyznacznik zmiennej \(y\), \(detA_{y}\). Żeby dobrze zrozumieć tą metodę należy przeanalizować poniższy przykład.
Przykład:
\( \begin{cases} 4x + 3y = 0 \\ 2x -y = 5 \end{cases} \) - ten sam układ co poprzednio
\(detA = \begin{vmatrix} 4 & 3\\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 4 \cdot (-1) - 3 \cdot 2 = -4 - 6 = -10\) - liczymy wyznacznik główny
\(detA_{x} = \begin{vmatrix} 0 & 3\\ 5 & -1 \end{vmatrix} = 0 \cdot (-1) - 3 \cdot 5 = -15\) - liczymy wyznacznik zmiennej \(x\), w taki sposób, że do kolumny, w której poprzednio były parametry stojące przy zmiennej \(x\) wstawiliśmy wyrazy wolne
\(detA_{y} = \begin{vmatrix} 4 & 0\\ 2 & 5 \end{vmatrix} = 4 \cdot 5 - 0 \cdot 2 = 20\) - liczymy wyznacznik zmiennej \(y\), i tym razem to do kolumny, w której poprzednio były parametry zmiennej \(y\) wstawiliśmy wyrazy wolne
Kiedy już mamy policzone wszystkie wyznaczniki, możemy znaleźć wartości obu zmiennych.
W tym celu korzystamy z wzorów Cramera.
\(x = \frac{detA_{x}}{detA} \), \(y = \frac{detA_{y}}{detA} \)
Zatem, w naszym przykładzie \(x = \frac{-15}{-10} = \frac{3}{2} = 1,5\), zaś \(y = \frac{20}{-10} = -2\).
W tym miejscu należy wspomnieć o jeszcze jednej istotnej rzeczy. Wzory Cramera są pomocne tylko wtedy, kiedy układ jest oznaczony - wówczas wyznacznik główne jest różny od zera. W przeciwnym wypadku (tj. gdy wyznacznik główny jest zerowy) nie jesteśmy w stanie stwierdzić, czy układ jest nieoznaczony czy sprzeczny).
Podsumowując - pokazane zostały trzy podstawowe metody rozwiązywania układów równań. To, którą metodę stosować, zależy od sytuacji, w niektórych przypadkach opłaca się podstawić, w innych natomiast pierwszym krokiem powinno być dodanie stronami. Czasem natomiast sensownym rozwiązaniem jest policzenie wyznaczników.
Wszystkie trzy metody dały takie samo rozwiązanie zadanego układu równań, tj.:
\( \begin{cases} x = 1,5 \\ y= -2 \end{cases} \).
Zadanie:
Rozwiązać układ równań:
\( \begin{cases} 2x + 7y = 0 \\ 3x - 14y = 5 \end{cases} \).
Rozwiązanie:
\( \begin{cases} x = \frac{5}{7} \\ y = - \frac{10}{49} \end{cases} \).