Metody rozwiązywania układów równań

Istnieje wiele metod rozwiązywania układów równań liniowych.

Do najbardziej elementarnych należą trzy z nich:

(1) rozwiązywanie układu równań przez podstawienie,

(2) rozwiązywanie układu równań przez dodanie stronami,

(3) metoda wyznacznikowa (skorzystanie z tzw. wzorów Cramera).

 

Rozwiązywanie układu równań przez podstawienie polega na tym, że najpierw z jednego z równań wyprowadzamy jedną zmienną, a następnie podstawiamy ją do drugiego równania - tym samym sprowadzając je do postaci zwykłego równania liniowego z jedną zmienną. 

 

Przykład:

 \begin{cases} 4x + 3y = 0 \\ 2x -y = 5 \end{cases}

2x -y = 5  \Rightarrow y = 2x -5 - z drugiego równania wyprowadzamy zmienną y

4x + 3(2x-5)=0 - wstawiamy wyprowadzoną zmienną do pierwszego równania

4x + 6x = 15

10 x = 15

x =  \frac{3}{2} = 1,5 - wyliczyliśmy pierwszą zmienną

y = 2  \cdot  \frac{3}{2} -5 = 3-5 = -2 - korzystając z wyliczonej pierwszej zmiennej, oraz drugiego równania, znajdujemy drugą zmienną.

 

Rozwiązywanie układów przez dodawanie stronami polega na tym, by doprowadzić oba równania do postaci, w której parametry przy jednej ze zmiennych sumują się do zera. Wówczas dodając oba równania (tzn. lewe strony obu równań oraz prawe strony obu równań) otrzymujemy nawet równanie, już z jedną zmienną - z którego możemy wyliczyć wartość tej zmiennej, by następnie - po powrocie do któregoś z równań wyjściowych - znaleźć drugą zmienną.

 

Przykład:

 \begin{cases} 4x + 3y = 0 \\ 2x -y = 5 \end{cases}  - ten sam układ równań rozwiążemy drugą metodą

 \begin{cases} 4x + 3y = 0 \\ -4x +2y =-10 \end{cases}  - na początek drugie równanie pomnożyliśmy przez -2 - teraz w obu równaniach parametry przez zmiennej x sumują się do zera więc możemy równania dodać stronami3y + 2y = -10

 - zmienna x zredukowała się

5y = -10 

y = -2 - policzyliśmy jedną ze zmiennych, teraz - korzystając z niej i z jednego z równań - znajdziemy drugą

4x + 3 \cdot (-2) = 0 - wstawiamy wyliczoną wartość do pierwszego równania

4x = 6  \Rightarrow  x =  \frac{3}{2}

 

Do użycia wzorów Cramera wymagana jest znajomość wyznaczników. Wyznaczniki drugiego stropnia oznaczamy detW i liczymy w następujący sposób:

\begin{vmatrix}
a & b\\ 
c & d
\end{vmatrix}

= ad - bc

 

Dla każdego układu równań zdefiniowane są trzy wyznaczniki, wyznacznik główny detA, wyznacznik zmiennej xdetA_{x} oraz wyznacznik zmiennej ydetA_{y}. Żeby dobrze zrozumieć tą metodę należy przeanalizować poniższy przykład.

 

Przykład:

 \begin{cases} 4x + 3y = 0 \\ 2x -y = 5 \end{cases}  - ten sam układ co poprzednio

detA = 

\begin{vmatrix}
4 & 3\\ 
2 & -1
\end{vmatrix}

=  4 \cdot (-1) - 3 \cdot 2 = -4 - 6 = -10 - liczymy wyznacznik główny

detA_{x} = 

\begin{vmatrix}
0 & 3\\ 
5 & -1
\end{vmatrix}

=  0 \cdot (-1) - 3 \cdot 5  =  -15 - liczymy wyznacznik zmiennej x, w taki sposób, że do kolumny, w której poprzednio były parametry stojące przy zmiennej x wstawiliśmy wyrazy wolne

detA_{y} = 

\begin{vmatrix}
4 & 0\\ 
2 & 5
\end{vmatrix}

=  4 \cdot 5 - 0 \cdot 2 = 20 - liczymy wyznacznik zmiennej y, i tym razem to do kolumny, w której poprzednio były parametry zmiennej y wstawiliśmy wyrazy wolne

Kiedy już mamy policzone wszystkie wyznaczniki, możemy znaleźć wartości obu zmiennych.

W tym celu korzystamy z wzorów Cramera.

x =  \frac{detA_{x}}{detA} , y =  \frac{detA_{y}}{detA}

Zatem, w naszym przykładzie x =  \frac{-15}{-10} =  \frac{3}{2} = 1,5, zaś y =  \frac{20}{-10} = -2.

W tym miejscu należy wspomnieć o jeszcze jednej istotnej rzeczy. Wzory Cramera są pomocne tylko wtedy, kiedy układ jest oznaczony - wówczas wyznacznik główne jest różny od zera. W przeciwnym wypadku (tj. gdy wyznacznik główny jest zerowy) nie jesteśmy w stanie stwierdzić, czy układ jest nieoznaczony czy sprzeczny). 

 

Podsumowując - pokazane zostały trzy podstawowe metody rozwiązywania układów równań. To, którą metodę stosować, zależy od sytuacji, w niektórych przypadkach opłaca się podstawić, w innych natomiast pierwszym krokiem powinno być dodanie stronami. Czasem natomiast sensownym rozwiązaniem jest policzenie wyznaczników.

Wszystkie trzy metody dały takie samo rozwiązanie zadanego układu równań, tj.:

 \begin{cases} x = 1,5 \\ y= -2 \end{cases} .

 

Zadanie:

Rozwiązać układ równań:

 \begin{cases} 2x + 7y = 0 \\ 3x - 14y = 5 \end{cases} .

 

Rozwiązanie:

 \begin{cases} x =  \frac{5}{7}  \\ y =  - \frac{10}{49}  \end{cases} .

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 4 + 5 =
Ostatnio komentowane
xd
• 2024-04-16 17:58:56
@Mariola - dziękujemy za zwrócenie uwagi, wpis został poprawiony. Pozdrawiamy :)
• 2024-04-16 07:36:55
Co za wstyd pomyśleć, że ja nie istnieje.
• 2024-04-12 15:30:23
supier
• 2024-04-11 18:27:13
bardzo pomocne
• 2024-04-09 17:22:24