Istnieje wiele metod rozwiązywania układów równań liniowych.
Do najbardziej elementarnych należą trzy z nich:
(1) rozwiązywanie układu równań przez podstawienie,
(2) rozwiązywanie układu równań przez dodanie stronami,
(3) metoda wyznacznikowa (skorzystanie z tzw. wzorów Cramera).
Rozwiązywanie układu równań przez podstawienie polega na tym, że najpierw z jednego z równań wyprowadzamy jedną zmienną, a następnie podstawiamy ją do drugiego równania - tym samym sprowadzając je do postaci zwykłego równania liniowego z jedną zmienną.
Przykład:
- z drugiego równania wyprowadzamy zmienną
- wstawiamy wyprowadzoną zmienną do pierwszego równania
- wyliczyliśmy pierwszą zmienną
- korzystając z wyliczonej pierwszej zmiennej, oraz drugiego równania, znajdujemy drugą zmienną.
Rozwiązywanie układów przez dodawanie stronami polega na tym, by doprowadzić oba równania do postaci, w której parametry przy jednej ze zmiennych sumują się do zera. Wówczas dodając oba równania (tzn. lewe strony obu równań oraz prawe strony obu równań) otrzymujemy nawet równanie, już z jedną zmienną - z którego możemy wyliczyć wartość tej zmiennej, by następnie - po powrocie do któregoś z równań wyjściowych - znaleźć drugą zmienną.
Przykład:
- ten sam układ równań rozwiążemy drugą metodą
- na początek drugie równanie pomnożyliśmy przez -2 - teraz w obu równaniach parametry przez zmiennej
sumują się do zera więc możemy równania dodać stronami
- zmienna zredukowała się
- policzyliśmy jedną ze zmiennych, teraz - korzystając z niej i z jednego z równań - znajdziemy drugą
- wstawiamy wyliczoną wartość do pierwszego równania
Do użycia wzorów Cramera wymagana jest znajomość wyznaczników. Wyznaczniki drugiego stropnia oznaczamy i liczymy w następujący sposób:
Dla każdego układu równań zdefiniowane są trzy wyznaczniki, wyznacznik główny , wyznacznik zmiennej
,
oraz wyznacznik zmiennej
,
. Żeby dobrze zrozumieć tą metodę należy przeanalizować poniższy przykład.
Przykład:
- ten sam układ co poprzednio
- liczymy wyznacznik główny
- liczymy wyznacznik zmiennej
, w taki sposób, że do kolumny, w której poprzednio były parametry stojące przy zmiennej
wstawiliśmy wyrazy wolne
- liczymy wyznacznik zmiennej
, i tym razem to do kolumny, w której poprzednio były parametry zmiennej
wstawiliśmy wyrazy wolne
Kiedy już mamy policzone wszystkie wyznaczniki, możemy znaleźć wartości obu zmiennych.
W tym celu korzystamy z wzorów Cramera.
,
Zatem, w naszym przykładzie , zaś
.
W tym miejscu należy wspomnieć o jeszcze jednej istotnej rzeczy. Wzory Cramera są pomocne tylko wtedy, kiedy układ jest oznaczony - wówczas wyznacznik główne jest różny od zera. W przeciwnym wypadku (tj. gdy wyznacznik główny jest zerowy) nie jesteśmy w stanie stwierdzić, czy układ jest nieoznaczony czy sprzeczny).
Podsumowując - pokazane zostały trzy podstawowe metody rozwiązywania układów równań. To, którą metodę stosować, zależy od sytuacji, w niektórych przypadkach opłaca się podstawić, w innych natomiast pierwszym krokiem powinno być dodanie stronami. Czasem natomiast sensownym rozwiązaniem jest policzenie wyznaczników.
Wszystkie trzy metody dały takie samo rozwiązanie zadanego układu równań, tj.:
.
Zadanie:
Rozwiązać układ równań:
.
Rozwiązanie:
.