Istnieje wiele metod rozwiązywania układów równań liniowych.
Do najbardziej elementarnych należą trzy z nich:
(1) rozwiązywanie układu równań przez podstawienie,
(2) rozwiązywanie układu równań przez dodanie stronami,
(3) metoda wyznacznikowa (skorzystanie z tzw. wzorów Cramera).
Rozwiązywanie układu równań przez podstawienie polega na tym, że najpierw z jednego z równań wyprowadzamy jedną zmienną, a następnie podstawiamy ją do drugiego równania - tym samym sprowadzając je do postaci zwykłego równania liniowego z jedną zmienną.
Przykład:
- z drugiego równania wyprowadzamy zmienną
- wstawiamy wyprowadzoną zmienną do pierwszego równania
- wyliczyliśmy pierwszą zmienną
- korzystając z wyliczonej pierwszej zmiennej, oraz drugiego równania, znajdujemy drugą zmienną.
Rozwiązywanie układów przez dodawanie stronami polega na tym, by doprowadzić oba równania do postaci, w której parametry przy jednej ze zmiennych sumują się do zera. Wówczas dodając oba równania (tzn. lewe strony obu równań oraz prawe strony obu równań) otrzymujemy nawet równanie, już z jedną zmienną - z którego możemy wyliczyć wartość tej zmiennej, by następnie - po powrocie do któregoś z równań