Rozwiązywanie nierówności z wartością bezwzględną sprowadza się do rozwiązania równania z wartością bezwzględną, odpowiedniej modyfikacji znaku nierówności oraz przeniesienia pewnych informacji na oś liczbową.
Dla nierówności postaci mamy dwa następujące przypadki, połączone symbolem \( \wedge \):
i \(x + a > - b\).
Dla nierówności postaci \(|x+a| >b\) spójnikiem jest znak \( \vee \), zaś przypadki wyglądają następująco:
\(x + a >b\) lub .
Aby zapamiętać te modyfikacje, można skojarzyć obrót znaku nierówności z kierunkiem ruchu wskazówek zegara.
Przykład:
\(|x-3|>2\)
\(x - 3 >2\) \( \vee \) \(x-3 < -2\) - zdejmując znak nierówności nierówność rozpisaliśmy na dwa przypadki, przy czym w drugim przypadku zmieniliśmy znak liczby po prawiej stronie nierówności.
Po przekształceniu oba przypadku mają postać:
\(x > 5\) \( \vee \) \(x < 1\), po naniesieniu na oś liczbową:
Zatem rozwiązaniem nierówności jest suma przedziałów:
\(x \in (- \infty ,1) \cup (5, \infty)\)
Zadanie:
Rozwiązać następujące nierówności:
a) \(|x + 5| <4\),
b) \(|x - 6| \ge 2\).
Odpowiedzi:
a) \(x \in (- \infty ,4] \cup [8, \infty )\),
b) \(x \in (-9,-1)\).