Nierównością wykładniczą jest każda nierówność, w której zmienna występuje w wykładniku potęgi.
Rozwiązywanie nierówności wykładniczych od rozwiązywania równań wykładniczych różni się tylko jednym, choć niezmiernie istotnym, szczegółem. Należy zwrócić uwagę na podstawę potęgi - czy jest większa czy mniejsza od . Jeśli jest ona liczbą z przedziału
wówczas znak nierówności należy zmienić na przeciwny, jeśli nie - znak nierówności pozostaje ten sam.
Przykład:
- podstawa potęgi jest większa od
, zatem znak nierówności pozostaje ten sam.
- podstawa potęgi jest mniejsza od
, więc zamieniamy znak nierówności na przeciwny.
Nierówność logarytmiczna to taka, w której występuje logarytm zmiennej.
Rozwiązując nierówności logarytmiczne liczbę znajdującą się po prawej stronie nierówności zamieniamy na logarytm.
W przypadku nierówności logarytmicznych istotne jest czy podstawa logarytmu jest liczbą większą bądź mniejszą od . Dla logarytmów o podstawach z przedziału
znak nierówności zmieniamy, w przeciwnym wypadku - pozostaje on bez zmian.
Należy także uwzględnić założenia odnośnie podstawy liczby logarytmowanej (nie może być ona liczbą ujemną).
Przykład:
, oraz
- podstawa jest liczbą większą od
, więc pozostawiamy znak nierówności.
Odpowiedź brzmi więc , po uwzględnieniu założeń o nieujemności liczby logarytmowanej.
, gdzie
, bo
- ponieważ podstawa logarytmu jest mniejsza od
, znak nierówności zmieniamy na przeciwny.
Ostatecznie zatem , po uwzględnieniu założeń o nieujemności liczby logarytmowanej.
Zadanie:
1. Rozwiązać następujące nierówności wykładnicze:
a) ,
b) ,
c) .
2. Rozwiązać następujące nierówności logarytmiczne:
a) ,
b) ,
c) .
Odpowiedzi:
1.
a) ,
b) ,
c) .
2.
a) ,
b) ,
c) .
