Nierównością wykładniczą jest każda nierówność, w której zmienna występuje w wykładniku potęgi.
Rozwiązywanie nierówności wykładniczych od rozwiązywania równań wykładniczych różni się tylko jednym, choć niezmiernie istotnym, szczegółem. Należy zwrócić uwagę na podstawę potęgi - czy jest większa czy mniejsza od \(1\). Jeśli jest ona liczbą z przedziału \((0,1)\) wówczas znak nierówności należy zmienić na przeciwny, jeśli nie - znak nierówności pozostaje ten sam.
Przykład:
\(2^{x} \le \frac{1}{16} \)
\(2^{x} \le 2^{-4}\)
\(x \le -4\) - podstawa potęgi jest większa od \(1\), zatem znak nierówności pozostaje ten sam.
\(( \frac{1}{2}) ^{x} > 4\)
\(( \frac{1}{2}) ^{x} > ( \frac{1}{2} )^{-2}\)
\(x < -2\) - podstawa potęgi jest mniejsza od \(1\), więc zamieniamy znak nierówności na przeciwny.
Nierówność logarytmiczna to taka, w której występuje logarytm zmiennej.
Rozwiązując nierówności logarytmiczne liczbę znajdującą się po prawej stronie nierówności zamieniamy na logarytm.
W przypadku nierówności logarytmicznych istotne jest czy podstawa logarytmu jest liczbą większą bądź mniejszą od \(1\). Dla logarytmów o podstawach z przedziału \((0,1)\) znak nierówności zmieniamy, w przeciwnym wypadku - pozostaje on bez zmian.
Należy także uwzględnić założenia odnośnie podstawy liczby logarytmowanej (nie może być ona liczbą ujemną).
Przykład:
\(log_{2}x > 2\), oraz \(x > 0\)
\(log_{2}x > log_{2}4\)
\(x > 4\) - podstawa jest liczbą większą od \(1\), więc pozostawiamy znak nierówności.
Odpowiedź brzmi więc \(x \in (4, \infty )\), po uwzględnieniu założeń o nieujemności liczby logarytmowanej.
\(log_{ \frac{1}{2} }x > 2\), gdzie \(x > 0\)
\(log_{ \frac{1}{2} }x > log_{ \frac{1}{2} } \frac{1}{4} \), bo \(2 = log_{ \frac{1}{2} } \frac{1}{4} \)
\(x < \frac{1}{4} \) - ponieważ podstawa logarytmu jest mniejsza od \(1\), znak nierówności zmieniamy na przeciwny.
Ostatecznie zatem \(x \in (0, \frac{1}{4} )\), po uwzględnieniu założeń o nieujemności liczby logarytmowanej.
Zadanie:
1. Rozwiązać następujące nierówności wykładnicze:
a) \( \frac{5^{x}}{25} < 625\),
b) \( \frac{9}{3^{x}} > \frac{1}{27} \),
c) \(16^{x} - 4^{x} \le 0\).
2. Rozwiązać następujące nierówności logarytmiczne:
a) \(log_{2} (x - 0,75) \le -2\),
b) \(log(x+x^{2}) \ge log(x-x^{2})\),
c) \(log_{2}(2+x)+log_{ \frac{1}{2} }(1-x)<0\).
Odpowiedzi:
1.
a) \(x < 6\),
b) \(x < 5\),
c) \(x \in (- \infty , 0]\).
2.
a) \(x \in ( \frac{3}{4} , 1]\),
b) \(x \in (0,1)\),
c) \(x \in (-2,- \frac{1}{2} )\).