Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Nierówności wykładnicze i logarytmiczne

Nierównością wykładniczą jest każda nierówność, w której zmienna występuje w wykładniku potęgi. 

Rozwiązywanie nierówności wykładniczych od rozwiązywania równań wykładniczych różni się tylko jednym, choć niezmiernie istotnym, szczegółem. Należy zwrócić uwagę na podstawę potęgi - czy jest większa czy mniejsza od 1. Jeśli jest ona liczbą z przedziału (0,1) wówczas znak nierówności należy zmienić na przeciwny, jeśli nie - znak nierówności pozostaje ten sam.

 

Przykład:

2^{x} \le  \frac{1}{16}

2^{x}  \le  2^{-4}

x  \le  -4 - podstawa potęgi jest większa od 1, zatem znak nierówności pozostaje ten sam.

( \frac{1}{2}) ^{x} > 4

( \frac{1}{2}) ^{x} > ( \frac{1}{2} )^{-2} 

x < -2 - podstawa potęgi jest mniejsza od 1, więc zamieniamy znak nierówności na przeciwny.

 

Nierówność logarytmiczna to taka, w której występuje logarytm zmiennej. 

Rozwiązując nierówności logarytmiczne liczbę znajdującą się po prawej stronie nierówności zamieniamy na logarytm.

W przypadku nierówności logarytmicznych istotne jest czy podstawa logarytmu jest liczbą większą bądź mniejszą od 1. Dla logarytmów o podstawach z przedziału (0,1) znak nierówności zmieniamy, w przeciwnym wypadku - pozostaje on bez zmian.

Należy także uwzględnić założenia odnośnie podstawy liczby logarytmowanej (nie może być ona liczbą ujemną). 

 

Przykład:

log_{2}x > 2, oraz x > 0

log_{2}x > log_{2}4

x > 4 - podstawa jest liczbą większą od 1, więc pozostawiamy znak nierówności.

Odpowiedź brzmi więc x \in (4, \infty ), po uwzględnieniu założeń o nieujemności liczby logarytmowanej.  

log_{ \frac{1}{2} }x > 2, gdzie x > 0

log_{ \frac{1}{2} }x > log_{ \frac{1}{2} } \frac{1}{4} , bo 2 = log_{ \frac{1}{2} } \frac{1}{4}

x <  \frac{1}{4}  - ponieważ podstawa logarytmu jest mniejsza od 1, znak nierówności zmieniamy na przeciwny.

Ostatecznie zatem x \in (0,  \frac{1}{4} ), po uwzględnieniu założeń o nieujemności liczby logarytmowanej.

 

Zadanie:

1. Rozwiązać następujące nierówności wykładnicze:

a)  \frac{5^{x}}{25} < 625,

b)  \frac{9}{3^{x}} > \frac{1}{27} ,

c) 16^{x} - 4^{x}  \le 0.

2. Rozwiązać następujące nierówności logarytmiczne:

a) log_{2} (x - 0,75)  \le -2,

b) log(x+x^{2})  \ge log(x-x^{2}),

c) log_{2}(2+x)+log_{ \frac{1}{2} }(1-x)<0.

 

Odpowiedzi:

1.

a) x < 6

b) x < 5

c) x \in (- \infty , 0]

2.

a) x \in ( \frac{3}{4} , 1],

b) x \in (0,1)

c) x \in (-2,- \frac{1}{2} )

Zobacz również

Losowe zadania

  • Oblicz masę miedzi i żelaza w mieszaninie

    W wyniku reakcji mieszaniny sproszkowanej miedzi oraz żelaza ze stężonym kwasem azotowym(V) wydzieliło się 4,48 dm3 gazu, a podczas reakcji tej mieszaniny z kwasem solnym otrzymano 2,24 dm3 gazu zakładając, że pomiary dokonano w warunkach normalnych. Odpowiedz, które reakcje nie zachodzą i podaj równania zachodzących reakcji...

    1 Odpowiedz Więcej
  • Ustal współczynniki dla reakcji redoks między KIO3 i HI

    Uzgodnij poniższą reakcję redoks, określ jaki to typ reakcji i wyjaśnij na czym polega. Wskaż utleniacz i reduktor. Określ stopnień utlenienia jodu w każdej cząsteczce. KIO3 + HI + H2SO4 → I2 + K2SO4 + H2O       

    0 Odpowiedz Więcej
  • Rola osocza krwi

    Osocze jest główny składnikiem krwi. Poza wodą zawiera wiele ważnych dla funkcjonowania organizmu związków. Wymień trzy funkcje, jakie pełni osocze krwi w organizmie.

    0 Odpowiedz Więcej
  • Produkty komórek wydzielniczych roślin

    Komórki wydzielnicze roślin odpowiadają za produkcję i wydzielanie różnych związków. Poniżej wymieniono kilka substancji produkowanych przez rośliny. Do każdej z nich dopisz po jednej funkcji, jaką spełnia. garbniki, alkaloidy, nektar, żywica, enzymy trawienne

    0 Odpowiedz Więcej
  • Średniowieczne motywy śmierci

    Połącz poniższe opisy ze średniowiecznymi motywami, któych dotyczą.   1. Ars moriendi 2. Danse macabre   a. Motyw niezwykle popularny w średniowiecznej literaturze i sztuce, zrodzony w XIII wieku. Przedstawiał korowód kościotrupa, za którym podążają przedstawiciele różych płci, charakter&oacut...

    0 Odpowiedz Więcej
Komentarze (1)
Wynik działania 5 + 4 =
Nicki
2018-03-13 21:07:37
Strasznie słabe... Nic nie pomaga, nie polecam
Ostatnio komentowane
smieszny
helena • 2020-07-09 09:40:55
Pomylono kąty
dsf • 2020-06-22 16:11:37
wow
Kasia • 2020-06-17 11:55:30
jezu ale trudne
iwo • 2020-06-16 18:19:06
dzieki
halinka • 2020-06-15 11:00:28