Nierównościami kwadratowymi nazywamy nierówności postaci ,
,
,
.
Aby rozwiązać nierówność kwadratową, należy rozwiązać równanie kwadratowe oraz ewentualnie wspomóc się rysunkiem.
Wyliczanie delty - wzór
Rozwiązywanie równania kwadratowego zaczynamy od policzenia delty.
- jeśli delta jest ujemna, nierówność jest spełniona dla każdej wartości zmiennej bądź nie jest spełniona nigdy, w zależności od jej znaku.
Przykład:
- delta jest ujemna (
), zaś nierówność jest spełniona zawsze - dla każdego podstawienia wartości za zmienną
lewa strona nierówności będzie dodatnia.
- trójmian kwadratowy jest ten sam, zatem delta także - jednak nierówność nie ma żadnego rozwiązania - ponieważ lewa jej strona nigdy nie jest mniejsza od zera.
Po czym rozpoznać, przy ujemnej delcie, czy nierówność jest spełniona zawsze, czy nigdy? Po wyrazie wolnym, tj. parametrze . Jeśli delta jest ujemna, ignorujemy całą nierówność, a skupiamy się jedynie na analizie nierówności skróconej, tj. odpowiednio
,
,
,
. Jeśli taka „obcięta” nierówność jest prawdziwa, to również wyjściowa nierówność jest spełniona dla każdego
, w przeciwnym natomiast wypadku - nierówność nie ma rozwiązań.
Wyliczanie pierwiastków trójmianu kwadratowego
Jeśli natomiast delta jest dodatnia, to wyliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego, oraz zaznaczamy je na osi liczbowej. Następnie - w zależności od znaku parametru stojącego przy najwyższej potędze zmiennej , tj. parametru
- nanosimy na wykres tzw. parabolę, czyli krzywą o kształcie:
gdy
jest dodatnie,
gdy
jest ujemne.
Punkty przecięcia paraboli z osią liczbową to pierwiastki trójmianu kwadratowego ,
. Jeśli nierówność miała znak
lub
, to wybieramy ten przedział lub przedziały wykresu, dla których wykres znajduje się powyżej osi liczbowej, w przeciwnym wypadku - gdy nierówność miała znak
lub
- wybieramy te przedziały, dla których wykres znajduje się poniżej osi liczbowej.
Nierówność kwadratowa przykład - rozwiąż nierówność:
Rozwiązać nierówność .
Delta jest dodatnia (), zatem liczymy pierwiastki trójmianu:
,
. Zaznaczamy je na osi, oraz nanosimy parabolę - o ramionach skierowanych do góry - ponieważ znak przy
jest dodatni.
Ostatecznie zaznaczamy te przedziały, dla których wykres znajduje się powyżej osi liczbowej i możemy sformułować odpowiedź:
Gdyby nierówność była nieostra, tj. , wówczas odpowiedź wyglądałaby następująco:
- przedziały zawierałyby pierwiastki trójmianu.
Zadania - rozwiąż nierówność:
a) ,
b) ,
c) ,
d) .
Odpowiedzi:
a) ,
b) ,
c) nierówność spełniona dla wszystkich ;
d) .