Nierówności kwadratowe

Nierównościami kwadratowymi nazywamy nierówności postaci ,  , ,.  

Aby rozwiązać nierówność kwadratową, należy rozwiązać równanie kwadratowe oraz ewentualnie wspomóc się rysunkiem.

 

Wyliczanie delty - wzór

Rozwiązywanie równania kwadratowego zaczynamy od policzenia delty.

 - jeśli delta jest ujemna, nierówność jest spełniona dla każdej wartości zmiennej bądź nie jest spełniona nigdy, w zależności od jej znaku.

Przykład:

 - delta jest ujemna (), zaś nierówność jest spełniona zawsze - dla każdego podstawienia wartości za zmienną  lewa strona nierówności będzie dodatnia.

 - trójmian kwadratowy jest ten sam, zatem delta także - jednak nierówność nie ma żadnego rozwiązania - ponieważ lewa jej strona nigdy nie jest mniejsza od zera.

 

Po czym rozpoznać, przy ujemnej delcie, czy nierówność jest spełniona zawsze, czy nigdy? Po wyrazie wolnym, tj. parametrze . Jeśli delta jest ujemna, ignorujemy całą nierówność, a skupiamy się jedynie na analizie nierówności skróconej, tj. odpowiednio , , , . Jeśli taka „obcięta” nierówność jest prawdziwa, to również wyjściowa nierówność jest spełniona dla każdego , w przeciwnym natomiast wypadku - nierówność nie ma rozwiązań.

 Wyliczanie pierwiastków trójmianu kwadratowego

Jeśli natomiast delta jest dodatnia, to wyliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego, oraz zaznaczamy je na osi liczbowej. Następnie - w zależności od znaku parametru stojącego przy najwyższej potędze zmiennej , tj. parametru  - nanosimy na wykres tzw. parabolę, czyli krzywą o kształcie:

 

gdy  jest dodatnie,

gdy  jest ujemne.

 

Punkty przecięcia paraboli z osią liczbową to pierwiastki trójmianu kwadratowego , . Jeśli nierówność miała znak  lub , to wybieramy ten przedział lub przedziały wykresu, dla których wykres znajduje się powyżej osi liczbowej, w przeciwnym wypadku - gdy nierówność miała znak  lub  - wybieramy te przedziały, dla których wykres znajduje się poniżej osi liczbowej.

 

Nierówność kwadratowa przykład - rozwiąż nierówność:

Rozwiązać nierówność .

Delta jest dodatnia (), zatem liczymy pierwiastki trójmianu:

, . Zaznaczamy je na osi, oraz nanosimy parabolę - o ramionach skierowanych do góry - ponieważ znak przy  jest dodatni.

 

Ostatecznie zaznaczamy te przedziały, dla których wykres znajduje się powyżej osi liczbowej i możemy sformułować odpowiedź:

Gdyby nierówność była nieostra, tj. , wówczas odpowiedź wyglądałaby następująco:

 - przedziały zawierałyby pierwiastki trójmianu.

 

Zadania - rozwiąż nierówność:

a) ,

b) ,

c) ,

d) .

 

Odpowiedzi:

a) ,

b) ,

c) nierówność spełniona dla wszystkich ;

d) .