Nierówności kwadratowe

Nierównościami kwadratowymi nazywamy nierówności postaci ax^{2} + bx + c > 0 Nierówności kwadratoweax^{2} + bx + c  \ge  0 Nierówności kwadratowe, ax^{2} + bx + c < 0 Nierówności kwadratowe,ax^{2} + bx + c  \le  0 Nierówności kwadratowe.  

Aby rozwiązać nierówność kwadratową, należy rozwiązać równanie kwadratowe oraz ewentualnie wspomóc się rysunkiem.

 

Wyliczanie delty - wzór

Rozwiązywanie równania kwadratowego zaczynamy od policzenia delty.

 \Delta  = b^{2} - 4ac nierówności kwadratowe delta wzór - jeśli delta jest ujemna, nierówność jest spełniona dla każdej wartości zmiennej bądź nie jest spełniona nigdy, w zależności od jej znaku.

Przykład:

x^{2} + 3x +3 >0 nierówności kwadratowe delta wzór - delta jest ujemna ( \Delta  = -3 nierówności kwadratowe delta wzór), zaś nierówność jest spełniona zawsze - dla każdego podstawienia wartości za zmienną x lewa strona nierówności będzie dodatnia.

x^{2} + 3x +3 <0 nierówności kwadratowe delta wzór - trójmian kwadratowy jest ten sam, zatem delta także - jednak nierówność nie ma żadnego rozwiązania - ponieważ lewa jej strona nigdy nie jest mniejsza od zera.

 

Po czym rozpoznać, przy ujemnej delcie, czy nierówność jest spełniona zawsze, czy nigdy? Po wyrazie wolnym, tj. parametrze c. Jeśli delta jest ujemna, ignorujemy całą nierówność, a skupiamy się jedynie na analizie nierówności skróconej, tj. odpowiednio c > 0, c  \ge 0, c<0c  \le 0. Jeśli taka „obcięta” nierówność jest prawdziwa, to również wyjściowa nierówność jest spełniona dla każdego x, w przeciwnym natomiast wypadku - nierówność nie ma rozwiązań.

 Wyliczanie pierwiastków trójmianu kwadratowego

Jeśli natomiast delta jest dodatnia, to wyliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego, oraz zaznaczamy je na osi liczbowej. Następnie - w zależności od znaku parametru stojącego przy najwyższej potędze zmiennej x, tj. parametru a - nanosimy na wykres tzw. parabolę, czyli krzywą o kształcie:

 

nierówności kwadratowe delta wzórgdy a jest dodatnie,

nierówności kwadratowe delta wzórgdy a jest ujemne.

 

Punkty przecięcia paraboli z osią liczbową to pierwiastki trójmianu kwadratowego x_{1}x_{2}. Jeśli nierówność miała znak > lub  \ge , to wybieramy ten przedział lub przedziały wykresu, dla których wykres znajduje się powyżej osi liczbowej, w przeciwnym wypadku - gdy nierówność miała znak < lub  \le - wybieramy te przedziały, dla których wykres znajduje się poniżej osi liczbowej.

 

Nierówność kwadratowa przykład - rozwiąż nierówność:

Rozwiązać nierówność x^{2} -5x + 4 > 0 Nierówność kwadratowa przykład - rozwiąż nierówność.

Delta jest dodatnia ( \Delta = 9 Nierówność kwadratowa przykład - rozwiąż nierówność), zatem liczymy pierwiastki trójmianu:

x_{1} = 1, x_{2} = 4. Zaznaczamy je na osi, oraz nanosimy parabolę - o ramionach skierowanych do góry - ponieważ znak przy x^{2} jest dodatni.

Nierówność kwadratowa przykład - rozwiąż nierówność 

Ostatecznie zaznaczamy te przedziały, dla których wykres znajduje się powyżej osi liczbowej i możemy sformułować odpowiedź:

x \in (- \infty ;1)  \cup (4; \infty ) Nierówność kwadratowa przykład - rozwiąż nierówność

Gdyby nierówność była nieostra, tj. x^{2} -5x + 4  \ge  0 Nierówność kwadratowa przykład - rozwiąż nierówność, wówczas odpowiedź wyglądałaby następująco:

x \in (- \infty ;1]  \cup [4; \infty ) Nierówność kwadratowa przykład - rozwiąż nierówność - przedziały zawierałyby pierwiastki trójmianu.

 

Zadania - rozwiąż nierówność:

a) x^{2} + x - 2 < 0,

b) -x^{2} -4x + 5 \le 0,

c) -3x^{2} - 6x - 5 <0,

d)  \frac{1}{2} x^{2} + 3x + 1  \ge 0.

 

Odpowiedzi:

a) x \in (-2,1),

b) x \in (-  \infty ;-5] \cup [1; \infty ),

c) nierówność spełniona dla wszystkich x;

d) x \in (- \infty ;-3- \sqrt{7} ] \cup [-3+ \sqrt{7} ; \infty ).

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 1 + 3 =
Ostatnio komentowane
tak
• 2023-02-05 12:47:21
Dziękuje
• 2023-02-05 10:06:49
Ok
• 2023-02-05 09:31:25
No dobra a jaki morał
• 2023-02-01 21:57:10
dzieki
• 2023-01-31 11:52:02