Nierówności stopnia trzeciego i wyższych stopni

Nierównościami stopnia trzeciego są wszystkie nierówności, których lewą stronę stanowi wyrażenie $a_{3}x^{3} + a_{2}x^{2}+ a_{1}x + a_{0}$ , po prawej zaś jest $0$ .

Nierówności stopnia czwartego to te, które po lewej stronie mają wyrażenie $a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3} + a_{2}x^{2}+ a_{1}x + a_{0}$ , prawej natomiast $0$ .

Podobnie definiować możemy nierówności wyższych stopni.

W przypadku nierówności stopnia trzeciego oraz wyższych stopni, podobnie jak w przypadku nierówności kwadratowych, rozwiązujemy odpowiednie równanie a następnie szkicujemy rysunek pomocniczy.

Rozwiązywanie równań stopnia trzeciego i stopni wyższych polegało na rozkładzie wielomianu na czynniki (np. poprzez dzielenie wielomianów), a następnie wypisaniu jego rozwiązań z postaci, do której równanie zostało sprowadzone. W przypadku nierówności dodatkowo przenosimy rozwiązania na oś liczbową, a następnie szkicujemy wielomian przechodzący przez zaznaczone punkty, zaczynając rysowanie od prawej strony i przechodząc przez oś liczbową jeśli pierwiastek wielomianu był nieparzystej krotności, w przeciwnym wypadku - tj. dla pierwiastków krotności parzystej - „odbijając” rysunek wykresu od osi.

Czym jest krotność pierwiastków?

Przykład:

$(x-3)$ , $x = 3$ - pierwiastek nieparzystej krotności,

$(x-3)^{2}$ , $x = 3$ - pierwiastek parzystej krotności,

$(x-3)^{3}$ , $x = 3$ - pierwiastek nieparzystej krotności,

$(x-3)^{4}$ , $x = 3$ - pierwiastek parzystej krotności,

itd.

Wykres zaczynamy rysować od prawej strony, i w zależności od tego, czy znak przy najwyższej potędze zmiennej $x$ był dodatni czy ujemny, zaczynamy rysować albo od góry, albo od dołu.

- parametr przy najwyższej potędze dodatni (rysujemy zaczynając od góry),

- parametr przy najwyższej potędze ujemny (rysujemy zaczynając od dołu),

- pierwiastek parzystej krotności (wykres „odbija się” od osi).

Ostatnim etapem rozwiązywania nierówności tego typu jest - podobnie jak w przypadku nierówności kwadratowych - zaznaczenie odpowiednich przedziałów (a więc tych części wykresu, które znajdowały się powyżej osi liczbowej - o ile znakiem nierówności był znak $>$ lub $\ge$ - bądź tych poniżej osi - w przeciwnym wypadku) oraz wypisanie rozwiązań.

Przykład:

Rozwiążmy nierówność $x^{4} - x^{3} - 7x^{2} + 13x - 6 >0$ . Po dokonaniu rozkładu na czynniki nierówność możemy zapisać jako $(x+3)(x-1)^{2}(x-2)>0$ , istnieją zatem trzy pierwiastki:

$x_{1} = -3$ - pojedynczej krotoności,

$x_{2} = 1$ - podwójnej (a zatem parzystej) krotności

$x_{3} = 2$ - pojedynczej krotności.

Szkic wykresu z zaznaczonymi odpowiednimi obszarami wyglądać będzie następująco:

Zatem ostateczna odpowiedź będzie brzmieć:

$x \in (- \infty ;-3) \cup (2; \infty )$ .

Gdyby natomiast nierówność była nieostra (tj. $x^{4} - x^{3} - 7x^{2} + 13x - 6 \ge 0$ ) wówczas odpowiedź brzmiałaby: $x \in (- \infty ;-3] \cup \left \{ -1 \right \} \cup [2; \infty )$ - ponieważ w rozwiązaniach uwzględnione zostają także punkty styczności z wykresem, a zatem te wartości zmiennej $x$ , dla których nierówność się zeruje.