Nierównościami stopnia trzeciego są wszystkie nierówności, których lewą stronę stanowi wyrażenie \(a_{3}x^{3} + a_{2}x^{2}+ a_{1}x + a_{0}\), po prawej zaś jest \(0\).
Nierówności stopnia czwartego to te, które po lewej stronie mają wyrażenie \(a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3} + a_{2}x^{2}+ a_{1}x + a_{0}\), prawej natomiast \(0\).
Podobnie definiować możemy nierówności wyższych stopni.
W przypadku nierówności stopnia trzeciego oraz wyższych stopni, podobnie jak w przypadku nierówności kwadratowych, rozwiązujemy odpowiednie równanie a następnie szkicujemy rysunek pomocniczy.
Rozwiązywanie równań stopnia trzeciego i stopni wyższych polegało na rozkładzie wielomianu na czynniki (np. poprzez dzielenie wielomianów), a następnie wypisaniu jego rozwiązań z postaci, do której równanie zostało sprowadzone. W przypadku nierówności dodatkowo przenosimy rozwiązania na oś liczbową, a następnie szkicujemy wielomian przechodzący przez zaznaczone punkty, zaczynając rysowanie od prawej strony i przechodząc przez oś liczbową jeśli pierwiastek wielomianu był nieparzystej krotności, w przeciwnym wypadku - tj. dla pierwiastków krotności parzystej - „odbijając” rysunek wykresu od osi.
Czym jest krotność pierwiastków?
Przykład:
\((x-3)\), \(x = 3\) - pierwiastek nieparzystej krotności,
\((x-3)^{2}\), \(x = 3\) - pierwiastek parzystej krotności,
\((x-3)^{3}\), \(x = 3\) - pierwiastek nieparzystej krotności,
\((x-3)^{4}\), \(x = 3\) - pierwiastek parzystej krotności,
itd.
Wykres zaczynamy rysować od prawej strony, i w zależności od tego, czy znak przy najwyższej potędze zmiennej \(x\) był dodatni czy ujemny, zaczynamy rysować albo od góry, albo od dołu.
- parametr przy najwyższej potędze dodatni (rysujemy zaczynając od góry),
- parametr przy najwyższej potędze ujemny (rysujemy zaczynając od dołu),
- pierwiastek parzystej krotności (wykres „odbija się” od osi).
Ostatnim etapem rozwiązywania nierówności tego typu jest - podobnie jak w przypadku nierówności kwadratowych - zaznaczenie odpowiednich przedziałów (a więc tych części wykresu, które znajdowały się powyżej osi liczbowej - o ile znakiem nierówności był znak \(>\) lub \( \ge \) - bądź tych poniżej osi - w przeciwnym wypadku) oraz wypisanie rozwiązań.
Przykład:
Rozwiążmy nierówność \(x^{4} - x^{3} - 7x^{2} + 13x - 6 >0\). Po dokonaniu rozkładu na czynniki nierówność możemy zapisać jako \((x+3)(x-1)^{2}(x-2)>0\), istnieją zatem trzy pierwiastki:
\(x_{1} = -3\) - pojedynczej krotoności,
\(x_{2} = 1\) - podwójnej (a zatem parzystej) krotności
\(x_{3} = 2\) - pojedynczej krotności.
Szkic wykresu z zaznaczonymi odpowiednimi obszarami wyglądać będzie następująco:
Zatem ostateczna odpowiedź będzie brzmieć:
\(x \in (- \infty ;-3) \cup (2; \infty )\).
Gdyby natomiast nierówność była nieostra (tj. \(x^{4} - x^{3} - 7x^{2} + 13x - 6 \ge 0\)) wówczas odpowiedź brzmiałaby:\(x \in (- \infty ;-3] \cup \left \{ -1 \right \} \cup [2; \infty )\) - ponieważ w rozwiązaniach uwzględnione zostają także punkty styczności z wykresem, a zatem te wartości zmiennej \(x\), dla których nierówność się zeruje.
Zadanie:
Rozwiązać nierówności:
a) \(x^{4} - x^{3} -2x - 4 \le 0\),
b) \(x^{3} + 6x^{2} + 6x - 5 >0\),
c) \(x^{3} - 2x^{2} - 4x \ge 0\).
Odpowiedzi:
a) \(x \in [-1;2]\),
b) \(x \in (-5; \infty )\),
c) \(x \in [1- \sqrt{5} ;0] \cup [1 + \sqrt{5} ; \infty )\).