Nierówności stopnia trzeciego i wyższych stopni

Nierównościami stopnia trzeciego są wszystkie nierówności, których lewą stronę stanowi wyrażenie a_{3}x^{3} + a_{2}x^{2}+ a_{1}x + a_{0}, po prawej zaś jest 0.

Nierówności stopnia czwartego to te, które po lewej stronie mają wyrażenie a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3} + a_{2}x^{2}+ a_{1}x + a_{0}, prawej natomiast 0.

Podobnie definiować możemy nierówności wyższych stopni. 

W przypadku nierówności stopnia trzeciego oraz wyższych stopni, podobnie jak w przypadku nierówności kwadratowych, rozwiązujemy odpowiednie równanie a następnie szkicujemy rysunek pomocniczy.

Rozwiązywanie równań stopnia trzeciego i stopni wyższych polegało na rozkładzie wielomianu na czynniki (np. poprzez dzielenie wielomianów), a następnie wypisaniu jego rozwiązań z postaci, do której równanie zostało sprowadzone. W przypadku nierówności dodatkowo przenosimy rozwiązania na oś liczbową, a następnie szkicujemy wielomian przechodzący przez zaznaczone punkty, zaczynając rysowanie od prawej strony i przechodząc przez oś liczbową jeśli pierwiastek wielomianu był nieparzystej krotności, w przeciwnym wypadku - tj. dla pierwiastków krotności parzystej - „odbijając” rysunek wykresu od osi.

Czym jest krotność pierwiastków?

 

Przykład:

(x-3), x = 3 - pierwiastek nieparzystej krotności,

(x-3)^{2}x = 3 - pierwiastek parzystej krotności,

(x-3)^{3}, x = 3 - pierwiastek nieparzystej krotności,

(x-3)^{4}x = 3 - pierwiastek parzystej krotności,

itd.

 

Wykres zaczynamy rysować od prawej strony, i w zależności od tego, czy znak przy najwyższej potędze zmiennej x był dodatni czy ujemny, zaczynamy rysować albo od góry, albo od dołu.

- parametr przy najwyższej potędze dodatni (rysujemy zaczynając od góry),

 - parametr przy najwyższej potędze ujemny (rysujemy zaczynając od dołu),

- pierwiastek parzystej krotności (wykres „odbija się” od osi).

 

 

Ostatnim etapem rozwiązywania nierówności tego typu jest - podobnie jak w przypadku nierówności kwadratowych - zaznaczenie odpowiednich przedziałów (a więc tych części wykresu, które znajdowały się powyżej osi liczbowej - o ile znakiem nierówności był znak > lub  \ge  - bądź tych poniżej osi - w przeciwnym wypadku) oraz wypisanie rozwiązań.

 

Przykład:

Rozwiążmy nierówność x^{4} - x^{3} - 7x^{2} + 13x - 6 >0. Po dokonaniu rozkładu na czynniki nierówność możemy zapisać jako (x+3)(x-1)^{2}(x-2)>0, istnieją zatem trzy pierwiastki:

x_{1} = -3 - pojedynczej krotoności,

x_{2} = 1 - podwójnej (a zatem parzystej) krotności

x_{3} = 2 - pojedynczej krotności.

Szkic wykresu z zaznaczonymi odpowiednimi obszarami wyglądać będzie następująco:

Zatem ostateczna odpowiedź będzie brzmieć:

x \in (- \infty ;-3) \cup (2; \infty ).

Gdyby natomiast nierówność była nieostra (tj. x^{4} - x^{3} - 7x^{2} + 13x - 6  \ge 0) wówczas odpowiedź brzmiałaby:x \in (- \infty ;-3]  \cup \left \{  -1 \right \} \cup [2; \infty ) - ponieważ w rozwiązaniach uwzględnione zostają także punkty styczności z wykresem, a zatem te wartości zmiennej x, dla których nierówność się zeruje.

 

Zadanie:

Rozwiązać nierówności:

a) x^{4} - x^{3} -2x - 4  \le  0,

b) x^{3} + 6x^{2} + 6x - 5 >0,

c) x^{3} - 2x^{2} - 4x  \ge 0.

 

Odpowiedzi:

a) x \in [-1;2],

b) x \in (-5;  \infty ),

c) x \in [1- \sqrt{5} ;0]  \cup  [1 +  \sqrt{5} ; \infty ).

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 5 + 5 =
Ostatnio komentowane
xd
• 2024-04-16 17:58:56
@Mariola - dziękujemy za zwrócenie uwagi, wpis został poprawiony. Pozdrawiamy :)
• 2024-04-16 07:36:55
Co za wstyd pomyśleć, że ja nie istnieje.
• 2024-04-12 15:30:23
supier
• 2024-04-11 18:27:13
bardzo pomocne
• 2024-04-09 17:22:24