Nierówności stopnia trzeciego i wyższych stopni

Nierównościami stopnia trzeciego są wszystkie nierówności, których lewą stronę stanowi wyrażenie \(a_{3}x^{3} + a_{2}x^{2}+ a_{1}x + a_{0}\), po prawej zaś jest \(0\).

Nierówności stopnia czwartego to te, które po lewej stronie mają wyrażenie \(a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3} + a_{2}x^{2}+ a_{1}x + a_{0}\), prawej natomiast \(0\).

Podobnie definiować możemy nierówności wyższych stopni. 

W przypadku nierówności stopnia trzeciego oraz wyższych stopni, podobnie jak w przypadku nierówności kwadratowych, rozwiązujemy odpowiednie równanie a następnie szkicujemy rysunek pomocniczy.

Rozwiązywanie równań stopnia trzeciego i stopni wyższych polegało na rozkładzie wielomianu na czynniki (np. poprzez dzielenie wielomianów), a następnie wypisaniu jego rozwiązań z postaci, do której równanie zostało sprowadzone. W przypadku nierówności dodatkowo przenosimy rozwiązania na oś liczbową, a następnie szkicujemy wielomian przechodzący przez zaznaczone punkty, zaczynając rysowanie od prawej strony i przechodząc przez oś liczbową jeśli pierwiastek wielomianu był nieparzystej krotności, w przeciwnym wypadku - tj. dla pierwiastków krotności parzystej - „odbijając” rysunek wykresu od osi.

Czym jest krotność pierwiastków?

 

Przykład:

\((x-3)\), \(x = 3\) - pierwiastek nieparzystej krotności,

\((x-3)^{2}\)\(x = 3\) - pierwiastek parzystej krotności,

\((x-3)^{3}\), \(x = 3\) - pierwiastek nieparzystej krotności,

\((x-3)^{4}\)\(x = 3\) - pierwiastek parzystej krotności,

itd.

 

Wykres zaczynamy rysować od prawej strony, i w zależności od tego, czy znak przy najwyższej potędze zmiennej \(x\) był dodatni czy ujemny, zaczynamy rysować albo od góry, albo od dołu.

- parametr przy najwyższej potędze dodatni (rysujemy zaczynając od góry),

 - parametr przy najwyższej potędze ujemny (rysujemy zaczynając od dołu),

- pierwiastek parzystej krotności (wykres „odbija się” od osi).

 

 

Ostatnim etapem rozwiązywania nierówności tego typu jest - podobnie jak w przypadku nierówności kwadratowych - zaznaczenie odpowiednich przedziałów (a więc tych części wykresu, które znajdowały się powyżej osi liczbowej - o ile znakiem nierówności był znak \(>\) lub \( \ge \) - bądź tych poniżej osi - w przeciwnym wypadku) oraz wypisanie rozwiązań.

 

Przykład:

Rozwiążmy nierówność \(x^{4} - x^{3} - 7x^{2} + 13x - 6 >0\). Po dokonaniu rozkładu na czynniki nierówność możemy zapisać jako \((x+3)(x-1)^{2}(x-2)>0\), istnieją zatem trzy pierwiastki:

\(x_{1} = -3\) - pojedynczej krotoności,

\(x_{2} = 1\) - podwójnej (a zatem parzystej) krotności

\(x_{3} = 2\) - pojedynczej krotności.

Szkic wykresu z zaznaczonymi odpowiednimi obszarami wyglądać będzie następująco:

Zatem ostateczna odpowiedź będzie brzmieć:

\(x \in (- \infty ;-3) \cup (2; \infty )\).

Gdyby natomiast nierówność była nieostra (tj. \(x^{4} - x^{3} - 7x^{2} + 13x - 6 \ge 0\)) wówczas odpowiedź brzmiałaby:\(x \in (- \infty ;-3] \cup \left \{ -1 \right \} \cup [2; \infty )\) - ponieważ w rozwiązaniach uwzględnione zostają także punkty styczności z wykresem, a zatem te wartości zmiennej \(x\), dla których nierówność się zeruje.

 

Zadanie:

Rozwiązać nierówności:

a) \(x^{4} - x^{3} -2x - 4 \le 0\),

b) \(x^{3} + 6x^{2} + 6x - 5 >0\),

c) \(x^{3} - 2x^{2} - 4x \ge 0\).

 

Odpowiedzi:

a) \(x \in [-1;2]\),

b) \(x \in (-5; \infty )\),

c) \(x \in [1- \sqrt{5} ;0] \cup [1 + \sqrt{5} ; \infty )\).

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 1 + 4 =
Ostatnio komentowane
Może być
• 2025-03-27 18:35:05
siema mega fajne
• 2025-03-22 08:47:31
dzięki
• 2025-03-10 15:14:41
bardzo to działanie łatwe
• 2025-03-03 13:00:02
Jest nad czym myśleć. PEŁEN POZYTYW.
• 2025-03-02 12:32:53