Nierówności dwukwadratowe

Szczególnym przypadkiem nierówności stopnia wyższego niż trzy są tak zwane nierówności dwukwadratowe, tj. nierówności postaci:

\(ax^4+bx^2+c>0\),

\(ax^4+bx^2+c \ge 0\),

\(ax^4+bx^2+c < 0\),

\(ax^4+bx^2+c \le 0\).

Nierówności te przywodzącą na myśl nierówności kwadratowe - rozwiązuje się je podobnie, sprowadzając nierówność do nierówności kwadratowej przez podstawienie zmiennej pomocniczej.

Podstawmy \(x^2=t\). Wówczas nierówność przybiera postać

\(at^2+bt+c*0\), gdzie w miejsce \(*\) należy wstawić odpowiedni znak nierówności. Następnie rozwiązujemy tą nierówność kwadratową poszukując rozwiązań równania kwadratowego, tak, by potem przepisać nierówność początkową w postaci odpowiedniego wielomianu i rozwiązać nierówność wielomianową.

Przeanalizujmy to na przykładzie.

Przykład:

Rozwiążmy nierówność

\(x^4-5x^2+4<0\).

Podstawiamy

\(x^2=t\)

I otrzymujemy

\(t^2-5t+4<0\).

Znajdziemy pierwiastki trójmianu kwadratowego licząc deltę.

\( \Delta =( -5)^2-4 \cdot 4=25-16=9\)

Delta jest dodatnia a zatem trójmian ma dwa pierwiastki:

\(t_1= \frac{5-3}{2}=1 \)

\(t_2= \frac{5+3}{2}=4\)

Oba pierwiastki są dodatnie, więc znajdziemy cztery \(x\)-y:

\(t_1=1\), zatem \(x ^{2} =1\).

Stąd \(x=1\) lub \(x=-1\)

\(t_2=4\), więc \(x^2=4\)

Co daje nam \(x=2\) oraz \(x=-2\).

A zatem początkową nierówność \(x^4-5x^2+4<0\) możemy zapisać jako

\((x-1)(x+1)(x-2)(x+2)<0\).

Jest to nierówność wielomianowa. Narysujmy wykres tego wielomianu by znaleźć rozwiązanie nierówności.

Nierówności dwukwadratowe

Interesuje nas kiedy wykres znajduje się poniżej osi (rozwiązujemy nierówność \(<\)).

A zatem \(x\in\(-2,-1) \cup (1,2)\).

 

Przykład:

Rozwiążmy nierówność

\(x^4+2x^2-8 \ge 0\).

Jak poprzednio, podstawimy \(x^2=t\).

Otrzymujemy nierówność kwadratową

\(t^2+2t-8 \ge 0\),

A więc liczymy deltę.

\( \Delta =2^2-4 \cdot (-8)=4+32=36\)

Delta jest dodatnia, zatem mamy dwa pierwiastki:

\(t_1= \frac{-2+6}{2} =2\)

\(t_2= \frac{-2-6}{2} =-4\)

Tylko jeden z tych pierwiastków jest liczbą dodatnią, a zatem tylko on spełnia równanie \(x^2=t\).

\(x^2=2\), w takim razie \(x= \sqrt{2} \) lub \(2= -\sqrt{2} \).

Początkową nierówność \(x^4+2x^2-8 \ge 0\) możemy zapisać więc jako \((x- \sqrt{2} )(x+ \sqrt{2} )(x^2+4) \ge 0\).

Jest to nierówność wielomianowa - narysujemy wykres wielomianu by ją rozwiązać (wielomian ten ma dwa pierwiastki, zatem jego wykres będzie podobny do wykresu funkcji kwadratowej).

Nierówności dwukwadratowe

Ostatecznie nierówność \(x^4+2x^2-8 \ge 0\) ma dwa rozwiązanie \(x\in\(- \infty ,- \sqrt{2}> \cup < \sqrt{2} ,+ \infty )\).

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 4 + 1 =
Ostatnio komentowane
Fajnie, dziękuję
• 2025-02-13 21:09:19
nie wiem po co takie łatwe działanie
• 2025-02-04 15:03:23
W planie wydarzeń punkt 1 i 2 powinny być zamienione miejscami.
• 2025-01-29 19:30:27
Jest tu zawarte wiele niezbędnych oraz interesujących informacji o twórcy i artyście jakim...
• 2025-01-26 10:13:01
To ja ola
• 2025-01-20 14:10:30