Szczególnym przypadkiem nierówności stopnia wyższego niż trzy są tak zwane nierówności dwukwadratowe, tj. nierówności postaci:
\(ax^4+bx^2+c>0\),
\(ax^4+bx^2+c \ge 0\),
\(ax^4+bx^2+c < 0\),
\(ax^4+bx^2+c \le 0\).
Nierówności te przywodzącą na myśl nierówności kwadratowe - rozwiązuje się je podobnie, sprowadzając nierówność do nierówności kwadratowej przez podstawienie zmiennej pomocniczej.
Podstawmy \(x^2=t\). Wówczas nierówność przybiera postać
\(at^2+bt+c*0\), gdzie w miejsce \(*\) należy wstawić odpowiedni znak nierówności. Następnie rozwiązujemy tą nierówność kwadratową poszukując rozwiązań równania kwadratowego, tak, by potem przepisać nierówność początkową w postaci odpowiedniego wielomianu i rozwiązać nierówność wielomianową.
Przeanalizujmy to na przykładzie.
Przykład:
Rozwiążmy nierówność
\(x^4-5x^2+4<0\).
Podstawiamy
\(x^2=t\)
I otrzymujemy
\(t^2-5t+4<0\).
Znajdziemy pierwiastki trójmianu kwadratowego licząc deltę.
\( \Delta =( -5)^2-4 \cdot 4=25-16=9\)
Delta jest dodatnia a zatem trójmian ma dwa pierwiastki:
\(t_1= \frac{5-3}{2}=1 \)
\(t_2= \frac{5+3}{2}=4\)
Oba pierwiastki są dodatnie, więc znajdziemy cztery \(x\)-y:
\(t_1=1\), zatem \(x ^{2} =1\).
Stąd \(x=1\) lub \(x=-1\)
\(t_2=4\), więc \(x^2=4\)
Co daje nam \(x=2\) oraz \(x=-2\).
A zatem początkową nierówność \(x^4-5x^2+4<0\) możemy zapisać jako
\((x-1)(x+1)(x-2)(x+2)<0\).
Jest to nierówność wielomianowa. Narysujmy wykres tego wielomianu by znaleźć rozwiązanie nierówności.
Interesuje nas kiedy wykres znajduje się poniżej osi (rozwiązujemy nierówność \(<\)).
A zatem \(x\in\(-2,-1) \cup (1,2)\).
Przykład:
Rozwiążmy nierówność
\(x^4+2x^2-8 \ge 0\).
Jak poprzednio, podstawimy \(x^2=t\).
Otrzymujemy nierówność kwadratową
\(t^2+2t-8 \ge 0\),
A więc liczymy deltę.
\( \Delta =2^2-4 \cdot (-8)=4+32=36\)
Delta jest dodatnia, zatem mamy dwa pierwiastki:
\(t_1= \frac{-2+6}{2} =2\)
\(t_2= \frac{-2-6}{2} =-4\)
Tylko jeden z tych pierwiastków jest liczbą dodatnią, a zatem tylko on spełnia równanie \(x^2=t\).
\(x^2=2\), w takim razie \(x= \sqrt{2} \) lub \(2= -\sqrt{2} \).
Początkową nierówność \(x^4+2x^2-8 \ge 0\) możemy zapisać więc jako \((x- \sqrt{2} )(x+ \sqrt{2} )(x^2+4) \ge 0\).
Jest to nierówność wielomianowa - narysujemy wykres wielomianu by ją rozwiązać (wielomian ten ma dwa pierwiastki, zatem jego wykres będzie podobny do wykresu funkcji kwadratowej).
Ostatecznie nierówność \(x^4+2x^2-8 \ge 0\) ma dwa rozwiązanie \(x\in\(- \infty ,- \sqrt{2}> \cup < \sqrt{2} ,+ \infty )\).