Rozwiązywanie nierówności liniowych polega w gruncie rzeczy na rozwiązaniu odpowiedniego równania liniowego.
Nierównością liniową z jedną zmienną jest nierówność postać \(ax + b > 0\) lub , gdzie \(x\) jest zmienną, natomiast \(a\) i \(b\) to parametry. Takie nierówności nazywane są też nierównościami ostrymi. Jeśli zamiast znaku \(>\) wstawimy znak \( \ge \), natomiast za wstawimy \( \le \), to nierówność będzie nieostra.
Przy rozwiązywaniu nierówności, podobnie jak w przypadku rozwiązywania równań liniowych, na początku przenosimy parametr \(b\) na drugą stronę nierówności. Następnie dzielimy obie strony nierówności przez parametr \(a\) - i niezwykle istotną w tym miejscu zmianą, w odniesieniu do rozwiązywania równań, jest fakt, że ma znaczenie znak tego parametru. Jeśli liczba \(a\) jest liczbą ujemną, znak nierówności zmieniamy na odwrotny, tzn. jeśli początkowo był to znak mniejszości (bądź mniejsze lub równe) to teraz będziemy mieć znak większości (odpowiednio: większe lub równe).
Przykład:
\(4x + 5 \ge 0\) - rozwiązywanie nierówności zaczynamy od przeniesienia wyrazu wolnego na drugą stronę.
\(4x \ge -5\) - w następnym kroku dzielimy obie strony równania przez 4.
\(x \ge -\frac{5}{4} \) - zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór wszystkich liczb większych bądź równych \(- \frac{5}{4} \).
Kolejna nierówność:
\(-6x + 3 < 0\) - postępujemy podobnie jak poprzednio, przenosząc na prawą stronę wyraz wolny.
\(-6x < -3\) - teraz obie strony dzielimy przez parametr stojący przy zmiennej, tj. przez -6.
\(x > \frac{-3}{-6}\) - należy pamiętać o zmianie znaku nierówności przy dzieleniu przez liczby ujemne.
\(x > \frac{1}{2} \) - ostateczny wynik. Nierówność spełniają wszystkie liczby większe od \( \frac{1}{2} \).
Zadanie:
Rozwiązać następujące nierównania:
a) \(2x + 4 > 2\),
b) \( \frac{3}{4} x - \frac{1}{2} \le 0\),
c) \(-5x - 7 \ge 0\).
Odpowiedzi:
a) \(x > -1\),
b) \(x \le \frac{2}{3} \),
c) \(x \le - \frac{7}{5} \).