Aby rozwiązać nierówność wymierną musimy najpierw tak ją przekształcić, by wszystkie występujące w niej ułamki algebraiczne znalazły się po jednej stronie. Następnie sprowadzamy je do wspólnego mianownika. Ta część rozwiązywania jest podobna do rozwiązywania równania wymiernego - w istocie postępujemy dotąd tak samo, z tą różnicą, że zamiast znaku \(=\) piszemy znak odpowiedniej nierówności.
Kiedy wyrażenie jest sprowadzone do jednego ułamka następuje tak zwana zamiana na nierówność równoważną co zostanie omówione poniżej. Następnie rozwiązuje się już nierówność wielomianową/kwadratową/liniową, rysując w tym celu uproszczony wykres wielomianu lub postępując w inny właściwy dla typu nierówności sposób.
Ostatecznie rozwiązaniem jest zbiór liczb spełniających otrzymaną nierówność wielomianową/kwadratową/liniową z wyłączeniem tych liczb, które zerowały mianowniki ułamków występujących na początku (a zatem konieczne jest wyznaczenie dziedziny pojawiających się wyrażeń - najlepiej jest to zrobić na starcie).
Prześledźmy to na przykładzie.
Przykład:
Rozwiążemy następującą nierówność:
\( \frac{x}{x-1} + \frac{2x-7}{x ^{2} -1} \ge \frac{5}{x+1} \)
Wyznaczmy na początek dziedzinę. Dziedziną będą wszystkie liczby rzeczywiste oprócz tych zerujących mianowniki, a zatem jest to zbiór \(D:x\in\mathbb{R} \setminus \{-1,1\}\). Mając dziedzinę możemy przystąpić do właściwego rozwiązywania nierówności.
Rozwiązywanie zacznijmy od przeniesienia wszystkich ułamków algebraicznych na jedną stronę.
\( \frac{x}{x-1} + \frac{2x-7}{x ^{2} -1} - \frac{5}{x+1} \ge 0\)
Chcemy sprowadzić wszystkie ułamki do wspólnego mianownika. W tym celu moglibyśmy pomnożyć przez siebie występujące w tych ułamkach mianowniki ale można to zrobić sprytniej. Pomyślmy o tym tak jak o znajdowaniu wspólnego mianownika dla ułamków \( \frac{1}{2} \), \( \frac{1}{3} \) i \( \frac{1}{6} \). Moglibyśmy jako mianownik przyjąć \(2 \cdot 3 \cdot 6\), ale ponieważ \(6\) samo w sobie to \(2 \cdot 3\) wystarczy, że za mianownik przyjmiemy szóstkę właśnie. W przypadku ułamków algebraicznych może zdarzyć się podobna sytuacja - rozpiszmy w tym celu mianownik środkowego ułamka korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \(a ^{2} -b ^{2} =(a-b)(a+b)\).
\( \frac{x}{x-1} + \frac{2x-7}{(x -1)(x+1)} - \frac{5}{x+1} \ge 0\)
A zatem mianownik środkowego ułamka jest iloczynem mianowników pozostałych ułamków. Taki też będzie wspólny mianownik. Domnóżmy pozostałe ułamki odpowiednio przez \(x+1\) oraz \(x-1\).
\( \frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{2x-7}{(x -1)(x+1)} - \frac{5(x-1)}{(x+1)(x-1)} \ge 0\)
Zapiszmy teraz wszystko na jednej kresce ułamkowej.
\( \frac{x(x+1)+ 2x-7 - 5(x-1)}{(x+1)(x-1)} \ge 0\)
Teraz pozbądźmy się nawiasów w liczniku wymnażając odpowiednio.
\( \frac{x^2+x+ 2x-7 - 5x+5}{(x+1)(x-1)} \ge 0\)
Otrzymujemy następującą nierówność:
\( \frac{x^2-2x-2}{(x+1)(x-1)} \ge 0\)
W tym miejscu nastąpi właśnie zamiana na nierówność równoważną. Wyjaśnijmy to.
Zwróćmy uwagę, że jeśli \( \frac{a}{b} > 0\) to również \(ab>0\). Albo obie liczby były dodatnie albo obie były ujemne - tylko wtedy ich iloraz byłby większy od zera - ale wówczas również ich iloczyn jest dodatni - więc uprawniona jest następująca zamiana.
Podobnie gdy \( \frac{a}{b} <0\) (jedna z liczb \(a\), \(b\) ujemna, druga dodatnia), dozwolona jest zamiana nierówności na równoważną jej nierówność \(ab<0\).
Skorzystamy z tego faktu rozwiązując nierówność wymierną.
\( (x^2-2x-2)(x+1)(x-1) \ge 0\)
Otrzymujemy zatem nierówność wielomianową. Znajdźmy pierwiastki wielomianu.
1) \( x^2-2x-2 = 0\)
\( \Delta =(-2) ^{2} -4 \cdot 1 \cdot (-2)=4+8=12\)
\(x _{1} = \frac{2- \sqrt{12} }{2} =\frac{2- \sqrt{4 \cdot 3} }{2} =\frac{2- 2\sqrt{ 3} }{2} =\frac{2(1- \sqrt{ 3}) }{2} =1- \sqrt{ 3}\)
\(x _{2} = \frac{2+ \sqrt{12} }{2} =\frac{2+ \sqrt{4 \cdot 3} }{2} =\frac{2+ 2\sqrt{ 3} }{2} =\frac{2(1+ \sqrt{ 3}) }{2} =1+ \sqrt{ 3}\)
2) \( x+1=0\)
\(x _{3} =-1\)
3) \( x-1=0\)
\(x _{4} =1\)
A zatem wielomian ma cztery pierwiastki: \(1- \sqrt{3} \), \(1+ \sqrt{3} \), \(-1\) i \(1\). Narysujmy jego wykres.
Interesują nas te przedziały, w których wykres powyższego wielomianu znajduje się powyżej osi \(x\) (rozwiązujemy nierówność \( \ge \)). Dzieje się tak wtedy, gdy \(x\in(- \infty ,-1> \cup <1- \sqrt{3} ,1> \cup <1+ \sqrt{3} ,+ \infty )\).
Ale jak pamiętamy liczby \(1\) i \(-1\) zostały wykluczone z dziedziny ponieważ zerowały mianowniki początkowych wyrażeń. Po uwzględnieniu tego faktu otrzymujemy ostatecznie rozwiązanie nierówności:
\(x\in(- \infty ,-1) \cup <1- \sqrt{3} ,1) \cup <1+ \sqrt{3} ,+ \infty )\).