Aby rozwiązać nierówność wymierną musimy najpierw tak ją przekształcić, by wszystkie występujące w niej ułamki algebraiczne znalazły się po jednej stronie. Następnie sprowadzamy je do wspólnego mianownika. Ta część rozwiązywania jest podobna do rozwiązywania równania wymiernego - w istocie postępujemy dotąd tak samo, z tą różnicą, że zamiast znaku piszemy znak odpowiedniej nierówności.
Kiedy wyrażenie jest sprowadzone do jednego ułamka następuje tak zwana zamiana na nierówność równoważną co zostanie omówione poniżej. Następnie rozwiązuje się już nierówność wielomianową/kwadratową/liniową, rysując w tym celu uproszczony wykres wielomianu lub postępując w inny właściwy dla typu nierówności sposób.
Ostatecznie rozwiązaniem jest zbiór liczb spełniających otrzymaną nierówność wielomianową/kwadratową/liniową z wyłączeniem tych liczb, które zerowały mianowniki ułamków występujących na początku (a zatem konieczne jest wyznaczenie dziedziny pojawiających się wyrażeń - najlepiej jest to zrobić na starcie).
Prześledźmy to na przykładzie.
Przykład:
Rozwiążemy następującą nierówność:
Wyznaczmy na początek dziedzinę. Dziedziną będą wszystkie liczby rzeczywiste oprócz tych zerujących mianowniki, a zatem jest to zbiór . Mając dziedzinę możemy przystąpić do właściwego rozwiązywania nierówności.
Rozwiązywanie zacznijmy od przeniesienia wszystkich ułamków algebraicznych na jedną stronę.
Chcemy sprowadzić wszystkie ułamki do wspólnego mianownika. W tym celu moglibyśmy pomnożyć przez siebie występujące w tych ułamkach mianowniki ale można to zrobić sprytniej. Pomyślmy o tym tak jak o znajdowaniu wspólnego mianownika dla ułamków ,
i
. Moglibyśmy jako mianownik przyjąć
, ale ponieważ
samo w sobie to
wystarczy, że za mianownik przyjmiemy szóstkę właśnie. W przypadku ułamków algebraicznych może zdarzyć się podobna sytuacja - rozpiszmy w tym celu mianownik środkowego ułamka korzystając ze wzoru skróconego mnożenia
.
A zatem mianownik środkowego ułamka jest iloczynem mianowników pozostałych ułamków. Taki też będzie wspólny mianownik. Domnóżmy pozostałe ułamki odpowiednio przez oraz
.
Zapiszmy teraz wszystko na jednej kresce ułamkowej.
Teraz pozbądźmy się nawiasów w liczniku wymnażając odpowiednio.
Otrzymujemy następującą nierówność:
W tym miejscu nastąpi właśnie zamiana na nierówność równoważną. Wyjaśnijmy to.
Zwróćmy uwagę, że jeśli to również
. Albo obie liczby były dodatnie albo obie były ujemne - tylko wtedy ich iloraz byłby większy od zera - ale wówczas również ich iloczyn jest dodatni - więc uprawniona jest następująca zamiana.
Podobnie gdy (jedna z liczb
,
ujemna, druga dodatnia), dozwolona jest zamiana nierówności na równoważną jej nierówność
.
Skorzystamy z tego faktu rozwiązując nierówność wymierną.
Otrzymujemy zatem nierówność wielomianową. Znajdźmy pierwiastki wielomianu.
1)
2)
3)
A zatem wielomian ma cztery pierwiastki: ,
,
i
. Narysujmy jego wykres.
Interesują nas te przedziały, w których wykres powyższego wielomianu znajduje się powyżej osi (rozwiązujemy nierówność
). Dzieje się tak wtedy, gdy
.
Ale jak pamiętamy liczby i
zostały wykluczone z dziedziny ponieważ zerowały mianowniki początkowych wyrażeń. Po uwzględnieniu tego faktu otrzymujemy ostatecznie rozwiązanie nierówności:
.
