Strona główna

/

Zadania

/

Matematyka

/

Liceum

Twierdzenie sinusów - zastosowanie

Rozwiąż trójkąt o danych bokach i kącie

a) $a\ =\ 10,\ c\ =\ 20,\ \gamma \ =\ 150^{\circ}$

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl

23.07.2020 11:31

a) Rozwiązaniem trójkata nazywamy wyznaczenie długości wszystkich jego boków i miar jego kątów. Poniższy rysunek jest ilustracją treści zadania. Musimy wyznaczyć długość $b$ i miary kątów $\alpha,\ \beta$ .

Na początku wyznaczymy miarę kąta $\alpha$ . Z twierdzenia sinusów mamy

$\frac{a}{\sin \alpha}\ =\ \frac{c}{\sin \gamma}$

$\frac{10}{\sin \alpha}\ =\ \frac{20}{\sin 150^{\circ}}$

$\sin \alpha\ =\ \frac{1}{2}\sin 150^{\circ}$

Obliczamy wartość $\sin 150^{\circ}$ .

$\sin 150^{\circ}\ =\ \sin (90^{\circ}\ +\ 60^{\circ})\ =\ \cos 60^{\circ}\ =\ \frac{1}{2}$

Zatem

$\sin \alpha\ =\ \frac{1}{4}$

Z tablic odczytujemy, że $\alpha \approx 14^{\circ}$ .

Wiedząc, że suma kątów w trójkącie wynosi $180^{\circ}$ , wyznaczamy miarę kąta $\beta$ .

$\beta\ \approx \ 180^{\circ} - (150^{\circ}+14^{\circ}) \approx 16^{\circ}$

Ponownie korzystając z twierdzenia sinusów, obliczmy długość boku $b$ .

$\frac{c}{\sin 150^{\circ}}\ \approx \ \frac{b}{\sin 16^{\circ}$

$40 \sin 16^{\circ} \approx b$

Z tablic odczytujemy, że $\sin 16^{\circ}\ \approx 0.2756$ . Stąd

$b \approx 11.024$

Odp. Wyznaczone wilkości wynoszą w przybliżeniu $b \approx 11.024, \ \alpha \approx 14^{\circ}, \beta \approx 16^{\circ}.$

Dzięki! 0

Znasz odpowiedź na to pytanie?

Wszystkie odpowiedzi (0)

Rozwiąż również: