Twierdzenie sinusów - zastosowanie

Rozwiąż trójkąt o danych bokach i kącie

a) a\ =\ 10,\ c\ =\ 20,\ \gamma \ =\ 150^{\circ}

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl
23.07.2020 11:31

a) Rozwiązaniem trójkata nazywamy wyznaczenie długości wszystkich jego boków i miar jego kątów. Poniższy rysunek jest ilustracją treści zadania. Musimy wyznaczyć długość b i miary kątów \alpha,\ \beta.

1a

Na początku wyznaczymy miarę kąta \alpha. Z twierdzenia sinusów mamy

\frac{a}{\sin \alpha}\ =\ \frac{c}{\sin \gamma}

\frac{10}{\sin \alpha}\ =\ \frac{20}{\sin 150^{\circ}}

\sin \alpha\ =\ \frac{1}{2}\sin 150^{\circ}

Obliczamy wartość \sin 150^{\circ}.

\sin 150^{\circ}\ =\ \sin (90^{\circ}\ +\ 60^{\circ})\ =\ \cos 60^{\circ}\ =\ \frac{1}{2}

Zatem 

\sin \alpha\ =\ \frac{1}{4}

Z tablic odczytujemy, że \alpha  \approx 14^{\circ}

Wiedząc, że suma kątów w trójkącie wynosi 180^{\circ}, wyznaczamy miarę kąta \beta.

\beta\  \approx \ 180^{\circ} - (150^{\circ}+14^{\circ})  \approx 16^{\circ}

Ponownie korzystając z twierdzenia sinusów, obliczmy długość boku b.

\frac{c}{\sin 150^{\circ}}\  \approx \ \frac{b}{\sin 16^{\circ}

40 \sin 16^{\circ}  \approx b

Z tablic odczytujemy, że \sin 16^{\circ}\  \approx  0.2756. Stąd

b  \approx  11.024


Odp. Wyznaczone wilkości wynoszą w przybliżeniu  b  \approx 11.024, \ \alpha  \approx 14^{\circ}, \beta  \approx   16^{\circ}.

Dzięki! 0
Znasz odpowiedź na to pytanie?
Wynik działania 2 + 3 =
Wszystkie odpowiedzi (0)

Rozwiąż również: