Równanie Clapeyrona

Podstawowym równaniem opisującym gaz doskonały jest równanie Clapeyrona:

\(pV=nRT\)

gdzie:

- \(p\) - ciśnienie,

- \(V\) - objętość,

- \(n\) - liczba moli gazu,

- \(R\) - stała gazowa,

 \(R = 8,314 \frac{J}{mol \cdot K} \)

- \(T\) - temperatura.

Przekształcając powyższe równanie można otrzymać zależności ciśnienia od objętości, objętości od temperatury oraz  ciśnienia od temperatury dla przemian gazowych (przemiana izotermiczna, izobaryczna oraz izochoryczna).

Zadanie

Gaz znajdujący się w cylindrze zamkniętym lekkim tłokiem pod ciśnieniem p = 800 hPa porusza się prawie bez tarcia. Pole powierzchni tłoka wynosi 50 cm². Ciepło molowe gazu wynosi \(C_{v} = \frac{3}{2} R\).

 

O ile cm przesunie się tłok, jeśli gaz zostanie ochłodzony i odda do otoczenia 200 J ciepła?

Odpowiedź

Dane:

\(p\) - ciśnienie gazu

\(S\) - pole powierzchni cylindra

\(Q \) - ciepło oddane do otoczenia

\(C_{v} \) - ciepło molowe przy stałej objętości

\(C_{p}\) - ciepło molowe przy stałym ciśnieniu

\(R\) - stała gazowa

\(x \) - przesunięcie tłoka

\(n\) - liczba moli gazu

\(T\) - temperatura

\(V \) - objętość

 

\(p = 800 hPa =8000Pa\\ S = 50 cm^{2} = 0,5m^{2} \\ Q = 200 J \\ C_{v} = \frac{3}{2} R\)

 

Szukane:

\(x\)

 

Rozwiązanie:

Ciśnienie jest stałe, więc gaz ulega przemianie izobarycznej, w której:

\(C_{p} = C_{v}+R \\ C_{p} = \frac{3}{2}R +R \\ C_{p} = \frac{5}{2} R\)

 

Ciepło oddane przez gaz:

\(Q = n \cdot C_{p} \cdot \Delta T \\ Q = n \cdot \frac{5}{2}R \cdot \Delta T \)

\(Q= \frac{5}{2}(nR \Delta T) \)

 

Równanie Clapeyrona (do obliczenia zmiany temperatury):

\(pV = nRT\)

W przemianie izobarycznej objętość zmienia się proporcjonalnie do temperatury, dlatego można zapisać:

\(p \Delta V = nR \Delta T\)

Przyrównując wzory:

\(Q= \frac{5}{2}(nR \Delta T) \)oraz \(\ p \Delta V = nR \Delta T\)

otrzymujemy:

\(Q = \frac{5}{2}p \Delta V \)

Objętość można zapisać w postaci:

\( \Delta V = S \cdot x\)

 

więc:

\(Q = \frac{5}{2}p \cdot S \cdot x \)

 

Przekształcając powyższy wzór otrzymujemy:

\(x= \frac{2Q}{5p \cdot S} \\ x= \frac{2 \cdot 200J}{5 \cdot 80000Pa \cdot 0,5m ^{2} } \\x= 0,002 m=0,2cm\)