Równanie ogólne prostej – wzór, zadania

Równaniem ogólnym prostej nazywamy równanie , gdzie ,  i  są parametrami (współczynnikami liniowymi), przy czym  i  nie mogą być jednocześnie równe zero.

Wektor o współrzędnych  jest wektorem prostopadłym do prostej, natomiast wektor  jest wektorem do niej równoległym i nazywamy go wektorem kierunkowym prostej.

 

Przykład:

Przekształcić równanie ogólne na równanie kierunkowe:

Po przeniesieniu odpowiednich wyrażeń na drugą stronę równania oraz podzieleniu obu jego stron przez parametr stojący przy zmiennej  otrzymujemy

 

Zauważmy, że prawa strona równania ogólnego prostej jest równa zero, stąd dla jednej prostej istnieje wiele równoważnych równań ją opisujących.

 

Przykład:

,

,

, itd.

 

Przykład:

Napisać równanie prostej prostopadłej do wektora  i przechodzącej przez punkt .

Wstawiamy współrzędne wektora do równania ogólnego prostej otrzymując . Podstawmy teraz za  i  współrzędne punktu :

Stąd wyliczamy, że , ostatecznie więc  lub po przekształceniu do postaci kierunkowej .

 

Zadanie:

Jaka prosta prostopadła do wektora  przechodzi przez punkt ?

 

Odpowiedzi:

Prosta  (lub ).