Równaniem ogólnym prostej nazywamy równanie \(Ax+By+C=0\), gdzie \(A\), \(B\) i \(C\) są parametrami (współczynnikami liniowymi), przy czym \(A\) i \(B\) nie mogą być jednocześnie równe zero.
Wektor o współrzędnych \((A,B)\) jest wektorem prostopadłym do prostej, natomiast wektor \((-B,A)\) jest wektorem do niej równoległym i nazywamy go wektorem kierunkowym prostej.
Przykład:
Przekształcić równanie ogólne na równanie kierunkowe:
\(2x + 3y - 2 = 0\)
Po przeniesieniu odpowiednich wyrażeń na drugą stronę równania oraz podzieleniu obu jego stron przez parametr stojący przy zmiennej \(y\) otrzymujemy
\(y = -\frac23+\frac23\)
Zauważmy, że prawa strona równania ogólnego prostej jest równa zero, stąd dla jednej prostej istnieje wiele równoważnych równań ją opisujących.
Przykład:
\(y - \frac12x+4=0\),
\(2y - x+8=0\),
\(3y-\frac32x+12=0\), itd.
Przykład:
Napisać równanie prostej prostopadłej do wektora \((7,2)\) i przechodzącej przez punkt \(P(1,2)\).
Wstawiamy współrzędne wektora do równania ogólnego prostej otrzymując \(7x+2y+C=0\). Podstawmy teraz za \(x\) i \(y\) współrzędne punktu \(P\):
\(7 + 4 + C =0\)
Stąd wyliczamy, że \(C = -11\), ostatecznie więc \(7x + 2y - 11 = 0\) lub po przekształceniu do postaci kierunkowej \(y=-\frac72x+\frac{11}2\).
Zadanie:
Jaka prosta prostopadła do wektora \(v = (3,-1)\) przechodzi przez punkt \(P(1,1) \)?
Odpowiedzi:
Prosta \(3x-y-2=0\) (lub \(y=3x-2\)).