Jeśli daną mamy prostą o równaniu ogólnym \(l:Ax+By+C=0\) i punkt \(P\) o współrzędnych \((x_P,y_P)\) to odległość punktu \(P\) od prostej \(l\) wyraża się wzorem
\(d(P,l) = \frac{|Ax_P+By_P+C|}{ \sqrt{A^2+B^2} }\)
Przykład:
Policzyć odległość punktu \(P = (4,2)\) od prostej \(l: y = \frac12x+3\).
Przekształćmy najpierw prostą do postaci ogólnej:
\(-\frac12x+y-3=0\)
Żeby ułatwić obliczenia wybierzmy inną postać ogólną tej prostej:
\(x-2y+6=0\)
Podstawmy następnie
\(d(P,l) = \frac{|1\cdot 4 - 2\cdot2+6|}{ \sqrt{1^2+(-2)^2} } = \frac{6}{ \sqrt{5} } = \frac{6 \sqrt{5} } 3\)
Zadanie:
Policzyć odległość punktu \((3,3)\) od prostej \(y = x-5\).
Odpowiedzi:
\( \frac{5 \sqrt{2} }{2} \).