Metoda Gaussa-Jordana

Metoda Gaussa-Jordana jest jedną z dwóch metod rozwiązywania układów równań przy pomocy operacji elementarnych na macierzach.

W metodzie tej sprowadzamy macierz rozszerzoną układu równań do postaci bazowej (macierzy jednostkowej). Z tej postaci odczytujemy wprost rozwiązania układu równań.

Przykład

Rozważmy następujący układ równań:

$\left\{ \begin{array}{ll} x_1+x_2+x_3=6\\ x_1+2x_2-x_3=4\\ 2x_1-x_2+x_3=4 \end{array} \right.$

 

W postaci macierzowej ten układ równań ma postać

$\mathbf{A|b}= \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 1 & 2 & -1 & 4 \\ 2 & -1 & 1 & 4 \end{array} \right]$

Używając operacji elementarnych sprowadzimy tą macierz do postaci bazowej (macierz $\mathbf{A}$ sprowadzimy do postaci macierzy jednostkowej).

$\mathbf{A|b}= \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 1 & 2 & -1 & 4 \\ 2 & -1 & 1 & 4 \end{array} \right]$$\rightarrow \\ w_2-w_1 \\ w_3-2w_1$$\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -2 & -2 \\ 0 & -3 & -1 & -8 \end{array} \right]$$\rightarrow \\ w_3+3w_2$$\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & -7 & -14 \end{array} \right]$$\rightarrow \\ w_3 \cdot (- \frac{1}{7})$$\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right]$$\rightarrow \\ w_1-w_2 \\ w_2+2w_3$$\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 3 & 8 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right]$$\rightarrow \\ w_1-3w_3 \\ $$\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right]$

Z tej postaci odczytujemy wprost

$\left\{ \begin{array}{ll} x_1=2\\ x_2=2\\ x_3=2 \end{array} \right.$.