Metoda Gaussa-Jordana jest jedną z dwóch metod rozwiązywania układów równań przy pomocy operacji elementarnych na macierzach.
W metodzie tej sprowadzamy macierz rozszerzoną układu równań do postaci bazowej (macierzy jednostkowej). Z tej postaci odczytujemy wprost rozwiązania układu równań.
Przykład
Rozważmy następujący układ równań:
\( \left\{ \begin{array}{ll} x_1+x_2+x_3=6\\ x_1+2x_2-x_3=4\\ 2x_1-x_2+x_3=4 \end{array} \right. \)
W postaci macierzowej ten układ równań ma postać
\(\mathbf{A|b}= \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 1 & 2 & -1 & 4 \\ 2 & -1 & 1 & 4 \end{array} \right]\)
Używając operacji elementarnych sprowadzimy tą macierz do postaci bazowej (macierz \(\mathbf{A}\) sprowadzimy do postaci macierzy jednostkowej).
\(\mathbf{A|b}= \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 1 & 2 & -1 & 4 \\ 2 & -1 & 1 & 4 \end{array} \right]\)\( \rightarrow \\ w_2-w_1 \\ w_3-2w_1\)\(\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -2 & -2 \\ 0 & -3 & -1 & -8 \end{array} \right]\)\( \rightarrow \\ w_3+3w_2\)\(\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & -7 & -14 \end{array} \right]\)\( \rightarrow \\ w_3 \cdot (- \frac{1}{7}) \)\(\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right]\)\( \rightarrow \\ w_1-w_2 \\ w_2+2w_3\)\(\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 3 & 8 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right]\)\( \rightarrow \\ w_1-3w_3 \\ \)\(\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right]\)
Z tej postaci odczytujemy wprost
\( \left\{ \begin{array}{ll} x_1=2\\ x_2=2\\ x_3=2 \end{array} \right. \).