1. Strona główna
    2. /
  2. Matematyka
    3. /
  3. Metoda Gaussa-Jordana

Metoda Gaussa-Jordana

Metoda Gaussa-Jordana jest jedną z dwóch metod rozwiązywania układów równań przy pomocy operacji elementarnych na macierzach.

W metodzie tej sprowadzamy macierz rozszerzoną układu równań do postaci bazowej (macierzy jednostkowej). Z tej postaci odczytujemy wprost rozwiązania układu równań.

Przykład

Rozważmy następujący układ równań:

\left\{ \begin{array}{ll} x_1+x_2+x_3=6\\ x_1+2x_2-x_3=4\\ 2x_1-x_2+x_3=4 \end{array} \right.

 

W postaci macierzowej ten układ równań ma postać

\mathbf{A|b}= \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 1 & 2 & -1 & 4 \\ 2 & -1 & 1 & 4 \end{array} \right]

Używając operacji elementarnych sprowadzimy tą macierz do postaci bazowej (macierz \mathbf{A} sprowadzimy do postaci macierzy jednostkowej).

\mathbf{A|b}= \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 1 & 2 & -1 & 4 \\ 2 & -1 & 1 & 4 \end{array} \right] \rightarrow \\ w_2-w_1 \\ w_3-2w_1\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -2 & -2 \\ 0 & -3 & -1 & -8 \end{array} \right] \rightarrow \\ w_3+3w_2\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & -7 & -14 \end{array} \right] \rightarrow \\ w_3 \cdot (- \frac{1}{7}) \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right] \rightarrow \\ w_1-w_2 \\ w_2+2w_3\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 3 & 8 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right] \rightarrow \\ w_1-3w_3 \\ \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right]

Z tej postaci odczytujemy wprost

\left\{ \begin{array}{ll} x_1=2\\ x_2=2\\ x_3=2 \end{array} \right. .

Polecamy również:

Zobacz również

Losowe zadania

Komentarze (1)
Wynik działania 5 + 1 =
nick
2023-11-16 13:17:06
W ostatniej macierzy jest błąd, powinno być | 1 0 0 2 | | 0 1 0 2 | | 0 0 1 2 |
Ostatnio komentowane
Semiotyka
OOOO Pan Pan Paweł!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!...
• 2023-12-07 14:50:52
Polaryzacja światła
Słabo nie umiecie liczyć
• 2023-12-07 13:59:39
Portret kobiecy
69
• 2023-12-05 21:17:13
Praca i moc prądu zmiennego
supeer tekst
• 2023-12-05 19:33:01
Encyklika Rerum novarum
e
• 2023-12-05 15:48:06