Metoda Gaussa-Jordana

Metoda Gaussa-Jordana jest jedną z dwóch metod rozwiązywania układów równań przy pomocy operacji elementarnych na macierzach.

W metodzie tej sprowadzamy macierz rozszerzoną układu równań do postaci bazowej (macierzy jednostkowej). Z tej postaci odczytujemy wprost rozwiązania układu równań.

Przykład

Rozważmy następujący układ równań:


 \left\{ \begin{array}{ll}
x_1+x_2+x_3=6\\
x_1+2x_2-x_3=4\\
2x_1-x_2+x_3=4
\end{array} \right.

 

W postaci macierzowej ten układ równań ma postać

\mathbf{A|b}= 
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 & 6 \\
1 & 2 & -1 & 4 \\
2 & -1 & 1 & 4
\end{array} \right]

Używając operacji elementarnych sprowadzimy tą macierz do postaci bazowej (macierz \mathbf{A} sprowadzimy do postaci macierzy jednostkowej).

\mathbf{A|b}= 
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 & 6 \\
1 & 2 & -1 & 4 \\
2 & -1 & 1 & 4
\end{array} \right] \rightarrow \\
w_2-w_1 \\
w_3-2w_1\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 & 6 \\
0 & 1 & -2 & -2 \\
0 & -3 & -1 & -8
\end{array} \right] \rightarrow \\

w_3+3w_2\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 & 6 \\
0 & 1  & -2 & -2 \\
0 & 0 & -7 & -14
\end{array} \right] \rightarrow \\

w_3 \cdot (- \frac{1}{7}) \left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 & 6 \\
0 & 1  & -2 & -2 \\
0 & 0 & 1 & 2
\end{array} \right] \rightarrow \\
w_1-w_2 \\
w_2+2w_3\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 3 & 8 \\
0 & 1  & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 2
\end{array} \right] \rightarrow \\
w_1-3w_3 \\
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1  & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 2
\end{array} \right]

Z tej postaci odczytujemy wprost


 \left\{ \begin{array}{ll}
x_1=2\\
x_2=2\\
x_3=2
\end{array} \right.
.

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 2 + 1 =
Ostatnio komentowane
Śkad wziął się taki wynik?
• 2022-12-05 21:24:47
Ok
• 2022-12-05 13:53:43
ok
• 2022-12-02 16:29:38
dzięki
• 2022-11-28 16:21:19
ok
• 2022-11-25 15:27:39