Twierdzenie Kroneckera-Capellego jest narzędziem matematycznym pozwalającym określić oznaczoność układu równań. Możemy się dzięki niemu dowiedzieć czy układ ma rozwiązania czy też nie.
Przypomnijmy terminologię. O układzie równań powiemy, że jest:
- oznaczony - gdy ma jedno rozwiązanie,
- nieoznaczony - gdy ma nieskończenie wiele rozwiązań,
- sprzeczny - gdy nie ma rozwiązań.
Rozważamy układ równań i
niewiadomych:
Macierzą główną tego układu równań nazywać będziemy macierz:
.
Znajdują się w niej wszystkie współczynniki stojące przy zmiennych. Oprócz tego definiujemy również tak zwaną macierz rozszerzoną układu - oprócz współczynników stojących przy zmiennych znajdują się w niej także wyrazy wolne:
.
Teraz w oparciu o rząd powyższych macierzy możemy określić oznaczoność układu zgodnie z poniższym twierdzeniem.
Twierdzenie
Układ jest zgodny (ma rozwiązanie), gdy oraz
1) jest oznaczony gdy ,
2) jest nieoznaczony gdy .
Gdy układ jest sprzeczny.
Przykład
Niech dany będzie układ równań:
Wtedy
Mamy ,
oraz
a zatem na mocy twierdzenia Kroneckera-Capellego układ jest oznaczony.
Przykład
Rozważmy układ
Jego macierze to:
Wówczas mamy ,
ale
, tak więc układ jest nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań).
