Twierdzenie Kroneckera-Capellego

Twierdzenie Kroneckera-Capellego jest narzędziem matematycznym pozwalającym określić oznaczoność układu równań. Możemy się dzięki niemu dowiedzieć czy układ ma rozwiązania czy też nie.

Przypomnijmy terminologię. O układzie równań powiemy, że jest:

- oznaczony - gdy ma jedno rozwiązanie,

- nieoznaczony - gdy ma nieskończenie wiele rozwiązań,

- sprzeczny - gdy nie ma rozwiązań.

 

Rozważamy układ m równań i n niewiadomych:


 \left\{ \begin{array}{ll}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\
...\\
a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=b_m
\end{array} \right.

Macierzą główną tego układu równań nazywać będziemy macierz:

\mathbf{A}_{m x n} =
\left[ \begin{array}{ccc}
a_{11} &a_{12}&...&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\
...\\
a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}
\end{array} \right].

Znajdują się w niej wszystkie współczynniki stojące przy zmiennych. Oprócz tego definiujemy również tak zwaną macierz rozszerzoną układu - oprócz współczynników stojących przy zmiennych znajdują się w niej także wyrazy wolne:

\mathbf{A|b} =
\left[ \begin{array}{ccc}
a_{11} &a_{12}&...&a_{1n}&b_1\\
a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}&b_2\\
...\\
a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}&b_m
\end{array} \right].

Teraz w oparciu o rząd powyższych macierzy możemy określić oznaczoność układu zgodnie z poniższym twierdzeniem.

 

Twierdzenie

Układ jest zgodny (ma rozwiązanie), gdy r(\mathbf{A})=r(\mathbf{A|b}) oraz

1) jest oznaczony gdy r(\mathbf{A})=r(\mathbf{A|b})=n,

2) jest nieoznaczony gdy r(\mathbf{A})=r(\mathbf{A|b})<n.

Gdy r(\mathbf{A})<r(\mathbf{A|b}) układ jest sprzeczny.

 

Przykład

Niech dany będzie układ równań:


 \left\{ \begin{array}{ll}
x_1+2x_2+x_3=6\\
x_1+2x_2-x_3=4\\
2x_1-x_2+x_3=4
\end{array} \right.

Wtedy

\mathbf{A} =
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & -1 \\
2 & -1 & 1
\end{array} \right]

\mathbf{A|b} =
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 & 6 \\
1 & 2 & -1 & 4\\
2 & -1 & 1 &4
\end{array} \right]

Mamy r(\mathbf{A})=3, r(\mathbf{A|b})=3 oraz n = 3 a zatem na mocy twierdzenia Kroneckera-Capellego układ jest oznaczony.

 

Przykład

Rozważmy układ


 \left\{ \begin{array}{ll}
x+y+z=6\\
x+y-z=4\\

\end{array} \right.

Jego macierze to:

\mathbf{A} =
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & -1 \\

\end{array} \right]

\mathbf{A|b} =
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 & 6 \\
1 & 2 & -1 & 4\\
\end{array} \right]

Wówczas mamy r(\mathbf{A})=2r(\mathbf{A|b})=2 ale n = 3, tak więc układ jest nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań).

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 2 + 5 =
Ostatnio komentowane
I cóż miał rację Marek Aureliusz który chciał podbić Germanię uderzeniem przez Mor...
• 2024-07-06 19:45:33
"Treść wiersza bezpośrednio nawiązuje też do istniejących wówczas, tajnych układó...
• 2024-07-02 05:43:44
O tym, że zmienne w czasie pole elektryczne jest źródłem pola magnetycznego, napisał ...
• 2024-06-27 07:25:33
ok
• 2024-06-05 13:52:17
nadal nie umiem tego napisać
• 2024-06-04 10:48:42