Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Twierdzenie Kroneckera-Capellego

Ostatnio komentowane
wew
wewe • 2019-10-17 19:56:19
No elo
Elo • 2019-10-16 18:14:00
nie fajne
wertyuiop[] • 2019-10-16 16:41:14
Podobno pan Erwin oprócz żony miał wiele związków nieformalnych z innymi kobietami. R...
Marcin • 2019-10-16 12:12:31
Podobno Alessandro Volta był bardzo pobożny. Codziennie uczęszczał na Mszę Świętą...
Marcin • 2019-10-16 12:06:53
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Twierdzenie Kroneckera-Capellego jest narzędziem matematycznym pozwalającym określić oznaczoność układu równań. Możemy się dzięki niemu dowiedzieć czy układ ma rozwiązania czy też nie.

Przypomnijmy terminologię. O układzie równań powiemy, że jest:

- oznaczony - gdy ma jedno rozwiązanie,

- nieoznaczony - gdy ma nieskończenie wiele rozwiązań,

- sprzeczny - gdy nie ma rozwiązań.

 

Rozważamy układ m równań i n niewiadomych:


 \left\{ \begin{array}{ll}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\
...\\
a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=b_m
\end{array} \right.

Macierzą główną tego układu równań nazywać będziemy macierz:

\mathbf{A}_{m x n} =
\left[ \begin{array}{ccc}
a_{11} &a_{12}&...&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\
...\\
a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}
\end{array} \right].

Znajdują się w niej wszystkie współczynniki stojące przy zmiennych. Oprócz tego definiujemy również tak zwaną macierz rozszerzoną układu - oprócz współczynników stojących przy zmiennych znajdują się w niej także wyrazy wolne:

\mathbf{A|b} =
\left[ \begin{array}{ccc}
a_{11} &a_{12}&...&a_{1n}&b_1\\
a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}&b_2\\
...\\
a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}&b_m
\end{array} \right].

Teraz w oparciu o rząd powyższych macierzy możemy określić oznaczoność układu zgodnie z poniższym twierdzeniem.

 

Twierdzenie

Układ jest zgodny (ma rozwiązanie), gdy r(\mathbf{A})=r(\mathbf{A|b}) oraz

1) jest oznaczony gdy r(\mathbf{A})=r(\mathbf{A|b})=n,

2) jest nieoznaczony gdy r(\mathbf{A})=r(\mathbf{A|b})<n.

Gdy r(\mathbf{A})<r(\mathbf{A|b}) układ jest sprzeczny.

 

Przykład

Niech dany będzie układ równań:


 \left\{ \begin{array}{ll}
x_1+2x_2+x_3=6\\
x_1+2x_2-x_3=4\\
2x_1-x_2+x_3=4
\end{array} \right.

Wtedy

\mathbf{A} =
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & -1 \\
2 & -1 & 1
\end{array} \right]

\mathbf{A|b} =
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 & 6 \\
1 & 2 & -1 & 4\\
2 & -1 & 1 &4
\end{array} \right]

Mamy r(\mathbf{A})=3, r(\mathbf{A|b})=3 oraz n = 3 a zatem na mocy twierdzenia Kroneckera-Capellego układ jest oznaczony.

 

Przykład

Rozważmy układ


 \left\{ \begin{array}{ll}
x+y+z=6\\
x+y-z=4\\

\end{array} \right.

Jego macierze to:

\mathbf{A} =
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & -1 \\

\end{array} \right]

\mathbf{A|b} =
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 & 6 \\
1 & 2 & -1 & 4\\
\end{array} \right]

Wówczas mamy r(\mathbf{A})=2r(\mathbf{A|b})=2 ale n = 3, tak więc układ jest nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań).

Polecamy również:

Komentarze (0)
2 + 2 =