Twierdzenie Kroneckera-Capellego jest narzędziem matematycznym pozwalającym określić oznaczoność układu równań. Możemy się dzięki niemu dowiedzieć czy układ ma rozwiązania czy też nie.
Przypomnijmy terminologię. O układzie równań powiemy, że jest:
- oznaczony - gdy ma jedno rozwiązanie,
- nieoznaczony - gdy ma nieskończenie wiele rozwiązań,
- sprzeczny - gdy nie ma rozwiązań.
Rozważamy układ \(m\) równań i \(n\) niewiadomych:
\( \left\{ \begin{array}{ll} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\ ...\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=b_m \end{array} \right. \)
Macierzą główną tego układu równań nazywać będziemy macierz:
\(\mathbf{A}_{m x n} = \left[ \begin{array}{ccc} a_{11} &a_{12}&...&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\ ...\\ a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn} \end{array} \right]\).
Znajdują się w niej wszystkie współczynniki stojące przy zmiennych. Oprócz tego definiujemy również tak zwaną macierz rozszerzoną układu - oprócz współczynników stojących przy zmiennych znajdują się w niej także wyrazy wolne:
\(\mathbf{A|b} = \left[ \begin{array}{ccc} a_{11} &a_{12}&...&a_{1n}&b_1\\ a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}&b_2\\ ...\\ a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}&b_m \end{array} \right]\).
Teraz w oparciu o rząd powyższych macierzy możemy określić oznaczoność układu zgodnie z poniższym twierdzeniem.
Twierdzenie
Układ jest zgodny (ma rozwiązanie), gdy \(r(\mathbf{A})=r(\mathbf{A|b})\) oraz
1) jest oznaczony gdy \(r(\mathbf{A})=r(\mathbf{A|b})=n\),
2) jest nieoznaczony gdy \(r(\mathbf{A})=r(\mathbf{A|b})<n\).
Gdy \(r(\mathbf{A})<r(\mathbf{A|b})\) układ jest sprzeczny.
Przykład
Niech dany będzie układ równań:
\( \left\{ \begin{array}{ll} x_1+2x_2+x_3=6\\ x_1+2x_2-x_3=4\\ 2x_1-x_2+x_3=4 \end{array} \right. \)
Wtedy
\(\mathbf{A} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{array} \right]\)
\(\mathbf{A|b} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 1 & 2 & -1 & 4\\ 2 & -1 & 1 &4 \end{array} \right]\)
Mamy \(r(\mathbf{A})=3\), \(r(\mathbf{A|b})=3\) oraz \(n = 3\) a zatem na mocy twierdzenia Kroneckera-Capellego układ jest oznaczony.
Przykład
Rozważmy układ
\( \left\{ \begin{array}{ll} x+y+z=6\\ x+y-z=4\\ \end{array} \right. \)
Jego macierze to:
\(\mathbf{A} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ \end{array} \right]\)
\(\mathbf{A|b} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 1 & 2 & -1 & 4\\ \end{array} \right]\)
Wówczas mamy \(r(\mathbf{A})=2\), \(r(\mathbf{A|b})=2\) ale \(n = 3\), tak więc układ jest nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań).