Jedną z metod rozwiązywania układów równań jest zapisanie układu w postaci macierzowej oraz posłużenie się macierzą odwrotną.
Przykład
Rozważmy układ równań
\( \left\{ \begin{array}{ll} x_1+2x_2+x_3=3\\ x_1+x_2=6\\ 2x_1+x_3=9 \end{array} \right. \)
Układ ten możemy równoważnie zapisać przy wykorzystaniu macierzy. Reprezentacja macierzowa tego układu to:
\(\mathbf{A} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{array} \right]\)
\(\mathbf{X} = \left[ \begin{array}{ccc} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right]\)
\(\mathbf{B} = \left[ \begin{array}{ccc} 3 \\ 6 \\ 9 \end{array} \right]\)
Macierz \(\mathbf{A}\) nazywamy macierzą główną układu, macierz \(\mathbf{X}\) macierzą zmiennych, a macierz \(\mathbf{B}\) - macierzą wyrazów wolnych.
Wyjściowy układ równań zapiszemy powyższymi macierzami w następujący sposób:
\(\mathbf{A} \circ \mathbf{X}=\mathbf{B}\)
Interesuje nas znalezienie wartości \(x_1\), \(x_2\) oraz \(x_3\), a zatem powyższe równanie przekształcimy na \(\mathbf{X}\). W tym celu pomnóżmy obustronnie powyższą równość przez macierz odwrotną do macierzy \(\mathbf{A}\), przy czym (ze względu na prawa działań na macierzach - nieprzemienność mnożenia macierzy) macierz \(\mathbf{A}^{-1}\) pojawi się po obu stronach równania z lewej strony - ponieważ macierz \(\mathbf{A}\) znajdowała się po lewej stronie.
\(\mathbf{A} \circ \mathbf{X}=\mathbf{B}|_{L} \circ \mathbf{A} ^{-1}\) - zapis ten oznacza mnożenie przez macierz \(\mathbf{A}^{-1}\) lewostronnie.
\(\mathbf{A} ^{-1} \circ \mathbf{A} \circ \mathbf{X}= \mathbf{A} ^{-1} \circ \mathbf{B}\)
Teraz ponieważ \(\mathbf{A} ^{-1} \circ \mathbf{A} = I\) otrzymujemy równanie
\(\mathbf{X}= \mathbf{A} ^{-1} \circ \mathbf{B}\)
To równanie daje nam przepis na rozwiązanie początkowego układu równań. W tym celu musimy wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy głównej układu (macierzy \(\mathbf{A}\)), a następnie wymnożyć ją przez macierz wyrazów wolnych (\(\mathbf{B}\)).
Tą macierzą jest macierz
\(\mathbf{A} ^{-1}= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{ccc} -1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -4 & 1 \end{array} \right]\)
Podstawiając teraz do \(\mathbf{X}= \mathbf{A} ^{-1} \circ \mathbf{B}\) macierze \(\mathbf{A}^{-1}\) i \(\mathbf{B}\) otrzymujemy
\(\mathbf{X} ^{-1}= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{ccc} -1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -4 & 1 \end{array} \right] \circ \left[ \begin{array}{ccc} 3 \\ 6 \\ 9 \end{array} \right] \)
\(= \left[ \begin{array}{ccc} -1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -4 & 1 \end{array} \right] \circ \left[ \begin{array}{ccc} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right] \)\(=\left[ \begin{array}{ccc} 6 \\ 0 \\ -3 \end{array} \right]\)
A zatem rozwiązanie układu to
\( \left\{ \begin{array}{ll} x_1=6\\ x_2=0\\ x_3=-3 \end{array} \right. \).