Jedną z metod rozwiązywania układów równań jest zapisanie układu w postaci macierzowej oraz posłużenie się macierzą odwrotną.
Przykład
Rozważmy układ równań
Układ ten możemy równoważnie zapisać przy wykorzystaniu macierzy. Reprezentacja macierzowa tego układu to:
Macierz nazywamy macierzą główną układu, macierz
macierzą zmiennych, a macierz
- macierzą wyrazów wolnych.
Wyjściowy układ równań zapiszemy powyższymi macierzami w następujący sposób:
Interesuje nas znalezienie wartości ,
oraz
, a zatem powyższe równanie przekształcimy na
. W tym celu pomnóżmy obustronnie powyższą równość przez macierz odwrotną do macierzy
, przy czym (ze względu na prawa działań na macierzach - nieprzemienność mnożenia macierzy) macierz
pojawi się po obu stronach równania z lewej strony - ponieważ macierz
znajdowała się po lewej stronie.
- zapis ten oznacza mnożenie przez macierz
lewostronnie.
Teraz ponieważ otrzymujemy równanie
To równanie daje nam przepis na rozwiązanie początkowego układu równań. W tym celu musimy wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy głównej układu (macierzy ), a następnie wymnożyć ją przez macierz wyrazów wolnych (
).
Tą macierzą jest macierz
Podstawiając teraz do macierze
i
otrzymujemy
A zatem rozwiązanie układu to
.
