Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Metoda równań macierzowych i macierzy odwrotnej

Ostatnio komentowane
wew
wewe • 2019-10-17 19:56:19
No elo
Elo • 2019-10-16 18:14:00
nie fajne
wertyuiop[] • 2019-10-16 16:41:14
Podobno pan Erwin oprócz żony miał wiele związków nieformalnych z innymi kobietami. R...
Marcin • 2019-10-16 12:12:31
Podobno Alessandro Volta był bardzo pobożny. Codziennie uczęszczał na Mszę Świętą...
Marcin • 2019-10-16 12:06:53
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Jedną z metod rozwiązywania układów równań jest zapisanie układu w postaci macierzowej oraz posłużenie się macierzą odwrotną.

Przykład

Rozważmy układ równań


 \left\{ \begin{array}{ll}
x_1+2x_2+x_3=3\\
x_1+x_2=6\\
2x_1+x_3=9
\end{array} \right.

Układ ten możemy równoważnie zapisać przy wykorzystaniu macierzy. Reprezentacja macierzowa tego układu to:

\mathbf{A} =
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
2 & 0 & 1
\end{array} \right]

\mathbf{X} =
\left[ \begin{array}{ccc}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array} \right]

\mathbf{B} =
\left[ \begin{array}{ccc}
3 \\
6 \\
9
\end{array} \right]

Macierz \mathbf{A} nazywamy macierzą główną układu, macierz \mathbf{X} macierzą zmiennych, a macierz \mathbf{B} - macierzą wyrazów wolnych.

Wyjściowy układ równań zapiszemy powyższymi macierzami w następujący sposób:

\mathbf{A} \circ \mathbf{X}=\mathbf{B}

Interesuje nas znalezienie wartości x_1, x_2 oraz x_3, a zatem powyższe równanie przekształcimy na \mathbf{X}. W tym celu pomnóżmy obustronnie powyższą równość przez macierz odwrotną do macierzy \mathbf{A}, przy czym (ze względu na prawa działań na macierzach - nieprzemienność mnożenia macierzy) macierz \mathbf{A}^{-1} pojawi się po obu stronach równania z lewej strony - ponieważ macierz \mathbf{A} znajdowała się po lewej stronie.

\mathbf{A} \circ \mathbf{X}=\mathbf{B}|_{L} \circ \mathbf{A} ^{-1} - zapis ten oznacza mnożenie przez macierz \mathbf{A}^{-1} lewostronnie.

\mathbf{A} ^{-1}  \circ  \mathbf{A} \circ \mathbf{X}= \mathbf{A} ^{-1} \circ  \mathbf{B}

Teraz ponieważ \mathbf{A} ^{-1}  \circ  \mathbf{A} = I otrzymujemy równanie

\mathbf{X}= \mathbf{A} ^{-1} \circ  \mathbf{B}

To równanie daje nam przepis na rozwiązanie początkowego układu równań. W tym celu musimy wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy głównej układu (macierzy \mathbf{A}), a następnie wymnożyć ją przez macierz wyrazów wolnych (\mathbf{B}).

Tą macierzą jest macierz

\mathbf{A} ^{-1}= \frac{1}{3} 
\left[ \begin{array}{ccc}
-1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & -1 \\
2 & -4 & 1
\end{array} \right]

Podstawiając teraz do \mathbf{X}= \mathbf{A} ^{-1} \circ  \mathbf{B} macierze \mathbf{A}^{-1} i \mathbf{B} otrzymujemy

\mathbf{X} ^{-1}= \frac{1}{3} 
\left[ \begin{array}{ccc}
-1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & -1 \\
2 & -4 & 1
\end{array} \right]
 \circ 
\left[ \begin{array}{ccc}
3  \\
6  \\
9 
\end{array} \right]

=
\left[ \begin{array}{ccc}
-1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & -1 \\
2 & -4 & 1
\end{array} \right]
 \circ 
\left[ \begin{array}{ccc}
1  \\
2  \\
3 
\end{array} \right]
=\left[ \begin{array}{ccc}
6  \\
0  \\
-3 
\end{array} \right]

A zatem rozwiązanie układu to


 \left\{ \begin{array}{ll}
x_1=6\\
x_2=0\\
x_3=-3
\end{array} \right.
.

Polecamy również:

Komentarze (0)
2 + 2 =