Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Wzory Cramera

Ostatnio komentowane
Śmigłowiec Szturmowy AH-64 Apache
imustend • 2019-11-22 08:16:53
jestem helikopterem
samolot • 2019-11-21 20:51:52
Przydatne, zapożyczyłem kilka zdań do własnej pracy.
Rafał • 2019-11-21 16:11:48
nie fajny
lolkamolkakwiat • 2019-11-21 16:09:24
Martina Lutra Kinga - może ktoś łaskawie poprawi pisownię!
PL • 2019-11-21 14:38:35
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Jedną z metod macierzowych rozwiązywania układów równań są wzory Cramera.

 

Rozważamy układ równań


 \left\{ \begin{array}{ll}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+...+a_{1n}x_n=b_1\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+...+a_{2n}x_n=b_2\\
...\\
a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+a_{n3}x_3...+a_{nn}x_n=b_n
\end{array} \right.

Macierz główna tego układu to

\mathbf{A} =
\left[ \begin{array}{ccc}
a_{11} &a_{12}&a_{13}&...&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}&...&a_{2n}\\
...\\
a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&...&a_{nn}
\end{array} \right].

Oprócz niej definiujemy macierze

\mathbf{A}_{1} =
\left[ \begin{array}{ccc}
b_{1} &a_{12}&a_{13}&...&a_{1n}\\
b_{2}&a_{22}&a_{23}&...&a_{2n}\\
...\\
b_{n}&a_{n2}&a_{n3}&...&a_{nn}
\end{array} \right]

\mathbf{A}_{2} =
\left[ \begin{array}{ccc}
a_{11} &b_{1}&a_{13}&...&a_{1n}\\
a_{21}&b_{2}&a_{23}&...&a_{2n}\\
...\\
a_{n1}&b_{n}&a_{n3}&...&a_{nn}
\end{array} \right]

\mathbf{A}_{3} =
\left[ \begin{array}{ccc}
a_{11} &a_{12}&b_{1}&...&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&b_{2}&...&a_{2n}\\
...\\
a_{n1}&a_{n2}&b_{n}&...&a_{nn}
\end{array} \right]

...

\mathbf{A}_{n} =
\left[ \begin{array}{ccc}
a_{11} &a_{12}&a_{13}&...&b_{1}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}&...&b_{2}\\
...\\
a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&...&b_{n}
\end{array} \right]

A zatem macierze \mathbf{A}_{i} (\mathbf{A}_{1} , \mathbf{A}_{2} , \mathbf{A}_{3} , ..., \mathbf{A}_{n} ) są macierzami utworzonymi z macierzy głównej poprzez zamianę i-tej kolumny na kolumnę wyrazów wolnych z wyjściowego układu równań.

Twierdzenie

Układ jest oznaczony, jeżeli \det \mathbf{A}  \neq 0. Wówczas prawdziwe są następujące wzory:

x_i= \frac{\det \mathbf{A_i} }{\det \mathbf{A} } (wzory Cramera).

Układ taki nazywamy układem cramerowskim.

Przykład

Rozważmy układ równań


 \left\{ \begin{array}{ll}
x_1+2x_2+x_3=6\\
x_1+2x_2-x_3=4\\
2x_1-x_2+x_3=4
\end{array} \right.

Jego macierz główna ma postać

\mathbf{A} =
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & -1 \\
2 & -1 & 1
\end{array} \right]

Oraz \det \mathbf{A} =-7. Wyznacznik jest niezerowy, więc układ równań ma jedno rozwiązanie (jest oznaczony).

\mathbf{A_1} =
\left[ \begin{array}{ccc}
6 & 1 & 1 \\
4 & 2 & -1 \\
4 & -1 & 1
\end{array} \right], \det \mathbf{A_1} =-14.

\mathbf{A_2} =
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 6 & 1 \\
1 & 4 & -1 \\
2 & 4 & 1
\end{array} \right], \det \mathbf{A_2} =-14.

\mathbf{A_3} =
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 6 \\
1 & 2 & 4 \\
2 & -1 & 4
\end{array} \right], \det \mathbf{A_3} =-14.

A zatem rozwiązania układu to

x_1= \frac{\det \mathbf{A_1} }{\det \mathbf{A} } = \frac{-14}{-7} =2

x_2= \frac{\det \mathbf{A_2} }{\det \mathbf{A} } = \frac{-14}{-7} =2

x_3= \frac{\det \mathbf{A_3} }{\det \mathbf{A} } = \frac{-14}{-7} =2

Polecamy również:

Komentarze (0)
4 + 3 =