1. Strona główna
    2. /
  2. Matematyka
    3. /
  3. Metoda eliminacji Gaussa

Metoda eliminacji Gaussa

Metoda eliminacji Gaussa jest jedną z dwóch metod rozwiązywania układów równań przy pomocy operacji elementarnych na macierzach.

W metodzie tej sprowadzamy macierz rozszerzoną układu do postaci trójkątnej z jedynkami na głównej przekątnej. Następnie rozwiązujemy układ równań podstawiając otrzymane w ten sposób rozwiązania.

Przykład

Rozważmy następujący układ równań:

\left\{ \begin{array}{ll} x_1+x_2+x_3=6\\ x_1+2x_2-x_3=4\\ 2x_1-x_2+x_3=4 \end{array} \right.

Zapiszemy ten układ równań w postaci macierzy rozszerzonej, tj. macierzy \mathbf{A|b}, która zawiera wszystkie współczynniki równań oraz wyrazy wolne.

\mathbf{A|b}= \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 1 & 2 & -1 & 4 \\ 2 & -1 & 1 & 4 \end{array} \right]

Używając operacji elementarnych sprowadzimy tą macierz do postaci trójkątnej (z jedynkami na głównej przekątnej).

\mathbf{A|b}= \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 1 & 2 & -1 & 4 \\ 2 & -1 & 1 & 4 \end{array} \right] \rightarrow \\ w_2-w_1 \\ w_3-2w_1\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -2 & -2 \\ 0 & -3 & -1 & -8 \end{array} \right] \rightarrow \\ w_3+3w_2\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & -7 & -14 \end{array} \right] \rightarrow \\ w_3 \cdot (- \frac{1}{7}) \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right]

Sprowadziliśmy macierz \mathbf{A} do postaci trójkątnej z jedynkami na głównej przekątnej.

Zwróćmy uwagę, że zapisany w ten sposób układ równań jest układem oznaczonym (na mocy twierdzenia Kroneckera-Kapellego), ponieważ r(\mathbf{A})=3, r(\mathbf{A|b})=3, jak również liczba zmiennych układu n=3.

Zapisując powyższą macierz ponownie w postaci układu równań mamy:

\left\{ \begin{array}{ll} x_1+x_2+x_3=6\\ x_2-2x_3=-2\\ x_3=2 \end{array} \right.

A zatem x_3=2. Jeśli wstawimy ten wynik do środkowego równania otrzymamy x_2-4=-2, tak więc x_2=2.

Oba powyższe rozwiązania (x_2=2, x_3=2) wstawione do pierwszego równania dają x_1 + 2 + 2 =6, skąd x_1=2, zatem ostatecznie

\left\{ \begin{array}{ll} x_1=2\\ x_2=2\\ x_3=2 \end{array} \right. .

Polecamy również:

Zobacz również

Losowe zadania

Komentarze (0)
Wynik działania 3 + 2 =
Ostatnio komentowane
Rozbicie dzielnicowe w Polsce (1138-1320)
Dziękuję za krótką acz treściwą syntezę :)
• 2024-09-24 21:14:03
Wojna chłopska w Niemczech (1524-1526)
Dodajmy, że było to również ostatnie powstanie wendyjskie (słowiańskie) na terenie N...
• 2024-09-04 21:32:33
Idiota – streszczenie
DZIĘKUJĘ
• 2024-07-31 13:21:34
Najazdy barbarzyńców na Rzym
I cóż miał rację Marek Aureliusz który chciał podbić Germanię uderzeniem przez Mor...
• 2024-07-06 19:45:33
Ampere
O tym, że zmienne w czasie pole elektryczne jest źródłem pola magnetycznego, napisał ...
• 2024-06-27 07:25:33