Metoda eliminacji Gaussa jest jedną z dwóch metod rozwiązywania układów równań przy pomocy operacji elementarnych na macierzach.
W metodzie tej sprowadzamy macierz rozszerzoną układu do postaci trójkątnej z jedynkami na głównej przekątnej. Następnie rozwiązujemy układ równań podstawiając otrzymane w ten sposób rozwiązania.
Przykład
Rozważmy następujący układ równań:
\( \left\{ \begin{array}{ll} x_1+x_2+x_3=6\\ x_1+2x_2-x_3=4\\ 2x_1-x_2+x_3=4 \end{array} \right. \)
Zapiszemy ten układ równań w postaci macierzy rozszerzonej, tj. macierzy \(\mathbf{A|b}\), która zawiera wszystkie współczynniki równań oraz wyrazy wolne.
\(\mathbf{A|b}= \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 1 & 2 & -1 & 4 \\ 2 & -1 & 1 & 4 \end{array} \right]\)
Używając operacji elementarnych sprowadzimy tą macierz do postaci trójkątnej (z jedynkami na głównej przekątnej).
\(\mathbf{A|b}= \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 1 & 2 & -1 & 4 \\ 2 & -1 & 1 & 4 \end{array} \right]\)\( \rightarrow \\ w_2-w_1 \\ w_3-2w_1\)\(\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -2 & -2 \\ 0 & -3 & -1 & -8 \end{array} \right]\)\( \rightarrow \\ w_3+3w_2\)\(\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & -7 & -14 \end{array} \right]\)\( \rightarrow \\ w_3 \cdot (- \frac{1}{7}) \)\(\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right]\)
Sprowadziliśmy macierz \(\mathbf{A}\) do postaci trójkątnej z jedynkami na głównej przekątnej.
Zwróćmy uwagę, że zapisany w ten sposób układ równań jest układem oznaczonym (na mocy twierdzenia Kroneckera-Kapellego), ponieważ \(r(\mathbf{A})=3\), \(r(\mathbf{A|b})=3\), jak również liczba zmiennych układu \(n=3\).
Zapisując powyższą macierz ponownie w postaci układu równań mamy:
\( \left\{ \begin{array}{ll} x_1+x_2+x_3=6\\ x_2-2x_3=-2\\ x_3=2 \end{array} \right. \)
A zatem \(x_3=2\). Jeśli wstawimy ten wynik do środkowego równania otrzymamy \(x_2-4=-2\), tak więc \(x_2=2\).
Oba powyższe rozwiązania (\(x_2=2\), \(x_3=2\)) wstawione do pierwszego równania dają \(x_1 + 2 + 2 =6\), skąd \(x_1=2\), zatem ostatecznie
\( \left\{ \begin{array}{ll} x_1=2\\ x_2=2\\ x_3=2 \end{array} \right. \).