Metoda eliminacji Gaussa

Metoda eliminacji Gaussa jest jedną z dwóch metod rozwiązywania układów równań przy pomocy operacji elementarnych na macierzach.

W metodzie tej sprowadzamy macierz rozszerzoną układu do postaci trójkątnej z jedynkami na głównej przekątnej. Następnie rozwiązujemy układ równań podstawiając otrzymane w ten sposób rozwiązania.

Przykład

Rozważmy następujący układ równań:


 \left\{ \begin{array}{ll}
x_1+x_2+x_3=6\\
x_1+2x_2-x_3=4\\
2x_1-x_2+x_3=4
\end{array} \right.

Zapiszemy ten układ równań w postaci macierzy rozszerzonej, tj. macierzy \mathbf{A|b}, która zawiera wszystkie współczynniki równań oraz wyrazy wolne.

\mathbf{A|b}= 
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 & 6 \\
1 & 2 & -1 & 4 \\
2 & -1 & 1 & 4
\end{array} \right]

Używając operacji elementarnych sprowadzimy tą macierz do postaci trójkątnej (z jedynkami na głównej przekątnej).

\mathbf{A|b}= 
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 & 6 \\
1 & 2 & -1 & 4 \\
2 & -1 & 1 & 4
\end{array} \right] \rightarrow \\
w_2-w_1 \\
w_3-2w_1\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 & 6 \\
0 & 1 & -2 & -2 \\
0 & -3 & -1 & -8
\end{array} \right] \rightarrow \\

w_3+3w_2\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 & 6 \\
0 & 1  & -2 & -2 \\
0 & 0 & -7 & -14
\end{array} \right] \rightarrow \\

w_3 \cdot (- \frac{1}{7}) \left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 & 6 \\
0 & 1  & -2 & -2 \\
0 & 0 & 1 & 2
\end{array} \right]

Sprowadziliśmy macierz \mathbf{A} do postaci trójkątnej z jedynkami na głównej przekątnej.

Zwróćmy uwagę, że zapisany w ten sposób układ równań jest układem oznaczonym (na mocy twierdzenia Kroneckera-Kapellego), ponieważ r(\mathbf{A})=3r(\mathbf{A|b})=3, jak również liczba zmiennych układu n=3.

Zapisując powyższą macierz ponownie w postaci układu równań mamy:


 \left\{ \begin{array}{ll}
x_1+x_2+x_3=6\\
x_2-2x_3=-2\\
x_3=2
\end{array} \right.

A zatem x_3=2. Jeśli wstawimy ten wynik do środkowego równania otrzymamy x_2-4=-2, tak więc x_2=2.

Oba powyższe rozwiązania (x_2=2, x_3=2) wstawione do pierwszego równania dają x_1 + 2 + 2 =6, skąd x_1=2, zatem ostatecznie


 \left\{ \begin{array}{ll}
x_1=2\\
x_2=2\\
x_3=2
\end{array} \right.
.

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 4 + 1 =
Ostatnio komentowane
Śkad wziął się taki wynik?
• 2022-12-05 21:24:47
Ok
• 2022-12-05 13:53:43
ok
• 2022-12-02 16:29:38
dzięki
• 2022-11-28 16:21:19
ok
• 2022-11-25 15:27:39