Symetria środkowa jest w gruncie rzeczy obrotem o kąt \(180^\circ\). W praktyce obrót najwygodniej jest dokonywać wokół środka układu współrzędnych (każdą sytuację można sproawdzić do tego przypadku poprzez odpowiednią translację punktów tak, by punkt obrotu miał współrzędne \((0,0)\)).
Obraz \(P'(x',y')\) punktu \(P(x,y)\) po obrocie o kąt \(\theta\) względem początku układu współrzędnych wyraża się wzorami
\(x' = x\cos \theta - y \sin \theta\)
\(y' = x \sin\theta + y \cos \theta\)
W szczególności jeśli obrót następuje o kąt \(\theta = 180^\circ\), sytuację taką nazywamy symetrią środkową o środku w punkcie \((0,0)\), a obraz punktu \(P\) trywializuje się do postaci \(P'=(-x,-y)\) (bo \(\sin180^\circ = 0\), \(\cos 180^\circ = -1\)).
Przykład:
Punkt \((1,4)\) po obrocie o kąt \( \alpha = 30^\circ\)ma współrzędne
\(x = 1\cdot\cos 30^\circ- 4\cdot \sin 30^\circ = \frac {\sqrt{3} }2-\frac42 = \frac{ \sqrt{3}-4}2 \)
\(y = 1\cdot \sin30^\circ+ 4\cdot \cos 30^\circ = \frac 1 2 + \frac {4 \sqrt{3} }2 = \frac{ 1+4\sqrt{3} }{2} \)
Przykład:
Znaleźć obraz punktu \(A = (1,4)\) w symetrii o środku w punkcie \(S = (4,2)\).
Najpierw przeprowadźmy translację obu punktów tak, by środek symetrii był początkiem układu współrzędnych:
\(S(4,2) \rightarrow S'(0,0)\) - wektorem przesunięcia będzie wektor \(v = (-4,-2)\).
Po zastosowaniu przesunięcia do punktu \(A\) otrzymamy \(A' = (1-4,4-2)=(-3,2)\).
Współrzędne punktu \(A'\) względem \(S'\) są równe odwrotnościom współrzędnych tego punktu, a zatem \(A'' = (3,-2)\).
Teraz należy jeszcze wykonać translację o wektor \(-v = (4,2)\), żeby wrócić do poprzedniego układu współrzędnych.
Otrzymujemy \(A''' = (3+4,-2+2)=(7,0)\).
