Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Symetria środkowa – geometria analityczna, definicja, wzór, zadania

Symetria środkowa jest w gruncie rzeczy obrotem o kąt 180^\circ. W praktyce obrót najwygodniej jest dokonywać wokół środka układu współrzędnych (każdą sytuację można sproawdzić do tego przypadku poprzez odpowiednią translację punktów tak, by punkt obrotu miał współrzędne (0,0)).

Obraz P'(x',y') punktu P(x,y) po obrocie o kąt \theta względem początku układu współrzędnych wyraża się wzorami

x' = x\cos \theta - y \sin \theta

y' = x \sin\theta + y \cos \theta

W szczególności jeśli obrót następuje o kąt \theta = 180^\circ, sytuację taką nazywamy symetrią środkową o środku w punkcie (0,0), a obraz punktu P trywializuje się do postaci P'=(-x,-y) (bo \sin180^\circ = 0\cos 180^\circ = -1).

 

Przykład:

Punkt (1,4) po obrocie o kąt  \alpha = 30^\circma współrzędne

x = 1\cdot\cos 30^\circ- 4\cdot \sin 30^\circ = \frac {\sqrt{3} }2-\frac42 = 
\frac{ \sqrt{3}-4}2

y = 1\cdot \sin30^\circ+ 4\cdot \cos 30^\circ
= \frac 1 2 + \frac {4 \sqrt{3} }2 =  \frac{ 1+4\sqrt{3} }{2}

 

Przykład:

Znaleźć obraz punktu A = (1,4) w symetrii o środku w punkcie S = (4,2).

Najpierw przeprowadźmy translację obu punktów tak, by środek symetrii był początkiem układu współrzędnych:

S(4,2) \rightarrow S'(0,0) - wektorem przesunięcia będzie wektor v = (-4,-2).

Po zastosowaniu przesunięcia do punktu A otrzymamy A' = (1-4,4-2)=(-3,2).

Współrzędne punktu A' względem S' są równe odwrotnościom współrzędnych tego punktu, a zatem A'' = (3,-2).

Teraz należy jeszcze wykonać translację o wektor -v = (4,2), żeby wrócić do poprzedniego układu współrzędnych.

Otrzymujemy A''' = (3+4,-2+2)=(7,0)

Zobacz również

Losowe zadania

Komentarze (0)
Wynik działania 4 + 2 =
Ostatnio komentowane
Lubicie mnie chociaż tutaj?
Dis • 2020-04-01 18:53:24
Nawet nawet
OlisiaSyb • 2020-04-01 17:33:11
fajnie
ls • 2020-04-01 13:17:22
Nie dokładnie o to mi chodziło ale przydatne. Pozdrawiam autora.
Mangle UwU • 2020-04-01 10:30:26
Bardzo słabe opracowanie jak na tak istotną książkę.
Andy • 2020-04-01 08:39:26