Symetria osiowa jest odbiciem względem pewnej prostej.
Aby wyznaczyć obraz \(P'\)punktu \(P\) w semetrii osiowej, gdzie osią symetrii jest prosta \(l\) o równaniu \(l: y = ax+b\) należy wyznaczyć prostą prostopadłą do prostej \(l\), przechodzącą przez punkt \(P\). Szukana prosta będzie mieć równanie \(k: y = -\frac1 a x + c\). Aby wyznaczyć \(c\) należy za zmienne \(x\) i \(y\) podstawić współrzędne punktu \(P\). Ostatnim etapem jest znalezienie współrzędnych punktu \(P'\), w oparciu o fakt, że punkt przecięcia się prostych \(l\) i \(k\) jest środkiem odcinka \(PP'\).
Znajdź obraz punktu względem osi symetrii - przykład
Znaleźć obraz punktu \(P = (3,2)\) w symetrii osiowej, gdy osią symetrii jest prosta \(l:y=2x-1\).
Zacznijmy od wyznaczenia prostej prostopadłej.
\(k:y=-\frac12x+c\)
\(2 = -\frac 1 2 \cdot3+c\)
\(c = \frac72\)
\(k:y=-\frac12x+\frac72\)
Szukany punkt \(P'\) leży na prostej \(k\), natomiast na przecięciu prostych \(k\) i \(l\) znajduje się środek odcinka \(PP'\). Zatem \(S_{PP'}\) znajdziemy rozwiązując równanie
\(-\fra12x+\frac72=2x-1\)
Stąd, po przekształceniu mamy \(x = \frac95\).
Podstawiamy teraz otrzymany wynik do jednego z równań prostych, otrzymując \(y = -\frac12\cdot\frac95+\frac72=\frac{13}5\).
Zatem punkt \(S_{PP'}\) ma współrzędne \((\frac95,\frac{13}5)\).
Ale zauważmy też, że jeśli oznaczymy współrzędne punktu \(P'\)przez \((x_{P'},y_{P'})\), to punkt \(S_{PP'}\) będzie mieć współrzędne \((\frac{3+x_{P'}}2,\frac{2+y_{P'}}2)\).
Łącząc powyższe fakty, mamy następującą parę równości:
\(\frac{3+x_{P'}}2 = \frac 95\) i \(\frac{2+y_{P'}}2 = \frac{13}5\),
skąd (przekształcając) wyznaczyć możemy \(x_{P'} = \frac{18}5-3=\frac35\) i \(y_{P'} = \frac{26}5-2 = \frac{16}5\).
Ostatecznie zatem, szukany punkt \(P'\) ma współrzędne \((\frac35,\frac{16}5)\).
Symetria osiowa - zadanie
Znaleźć obraz punktu \((1,3)\) w symetrii względem prostej o równaniu ogólnym \(x + 2 y -2 = 0\).
Odpowiedz:
\((-1,-1)\)