Symetria osiowa – geometria analityczna, definicja, wzór, zadania, oś symetrii

Symetria osiowa – geometria analityczna, definicja, wzór, zadania

Symetria osiowa jest odbiciem względem pewnej prostej.

Aby wyznaczyć obraz $P'$ punktu $P$ w semetrii osiowej, gdzie osią symetrii jest prosta $l$ o równaniu $l: y = ax+b$ należy wyznaczyć prostą prostopadłą do prostej $l$ , przechodzącą przez punkt $P$ . Szukana prosta będzie mieć równanie $k: y = -\frac1 a x + c$ . Aby wyznaczyć $c$ należy za zmienne $x$ i $y$ podstawić współrzędne punktu $P$ . Ostatnim etapem jest znalezienie współrzędnych punktu $P'$ , w oparciu o fakt, że punkt przecięcia się prostych $l$ i $k$ jest środkiem odcinka $PP'$ .

Oś, symetria osiowa

Znajdź obraz punktu względem osi symetrii - przykład

Znaleźć obraz punktu $P = (3,2)$ w symetrii osiowej, gdy osią symetrii jest prosta $l:y=2x-1$ .

Zacznijmy od wyznaczenia prostej prostopadłej.

$k:y=-\frac12x+c$

$2 = -\frac 1 2 \cdot3+c$

$c = \frac72$

$k:y=-\frac12x+\frac72$

Szukany punkt $P'$ leży na prostej $k$ , natomiast na przecięciu prostych $k$ i $l$ znajduje się środek odcinka $PP'$ . Zatem $S_{PP'}$ znajdziemy rozwiązując równanie

$-\fra12x+\frac72=2x-1$

Stąd, po przekształceniu mamy $x = \frac95$ .

Podstawiamy teraz otrzymany wynik do jednego z równań prostych, otrzymując $y = -\frac12\cdot\frac95+\frac72=\frac{13}5$ .

Zatem punkt $S_{PP'}$ ma współrzędne $(\frac95,\frac{13}5)$ .

Ale zauważmy też, że jeśli oznaczymy współrzędne punktu $P'$ przez $(x_{P'},y_{P'})$ , to punkt $S_{PP'}$ będzie mieć współrzędne $(\frac{3+x_{P'}}2,\frac{2+y_{P'}}2)$ .