Cząstka, która jest uwięziona w nieskończenie głębokiej studni potencjału (tj. jest ze wszystkich stron ograniczona nieskończenie wysokimi barierami potencjału), nie może przeniknąć w obszar klasycznie wzbroniony. Współczynnik transmisji jest w tym przypadku równy zero. Wewnątrz studni fala materii, która jest stowarzyszona z cząstką tworzy falę stojącą, której węzły znajdują się na granicach studni.
Rys. Stojące fale materii stowarzyszone z cząstką uwięzioną w nieskończenie głębokiej studni potencjału.
Jak wynika z przedstawionego rysunku na odcinku równym szerokości studni (L) musi się mieścić całkowita wielokrotność połówek długości fali, zatem:
\(L=n \frac{ \lambda _{m} }{2} \Rightarrow \lambda _{m}= \frac{2L}{n} \)
gdzie: n = 1, 2, 3, …., λm – długość fali materii.
Zgodnie z hipotezą de Broglie`a długość fali materii jest równa:
\( \lambda _{m}= \frac{h}{p} \Rightarrow p= \frac{h}{ \lambda _{m} } \)
gdzie: h – stała Plancka, p – pęd cząstki.
Energia kinetyczna oraz pęd są wielkościami, które zależą jedynie od masy ciała (m) i jego prędkości (v). Są one odpowiednio równe:
\(E= \frac{mv ^{2} }{2} \)
\(p=mv\)
Łącząc ze sobą dwa ostanie równania, otrzymamy relację pomiędzy energią i pędem:
\(E= \frac{p ^{2} }{2m} \)
Zastępując pęd i długość fali materii odpowiednimi, przedstawionymi wcześniej zależnościami, otrzymamy ostateczny wzór na wartość energii cząstki uwięzionej w nieskończenie głębokiej studni potencjału:
\(E= \frac{h ^{2} }{ \lambda _{m} ^{2} } = \frac{h ^{2} n ^{2} }{4L ^{2} \cdot 2m} \)
\(E _{n}= \frac{h ^{2} }{8mL ^{2} } \cdot n ^{2} \)
Otrzymany wynik oznacza, że energia cząstki zamkniętej w nieskończenie głębokiej studni potencjału jest skwantowana tj. nie może przyjmować dowolnych wartości tylko ściśle określone. Możliwe wartości energii nazywane są poziomami energetycznymi. Poziom o najniższej wartości energii (dla n = 1) nazywany jest poziomem lub stanem podstawowym.
Nieskończona bariera potencjału – przykład.
Znajdź trzy pierwsze poziomy energetyczne elektronu uwięzionego w nieskończenie głębokiej studni potencjału o szerokości równej średnicy atomu wodoru.
Dane: Szukane:
m = 9,1•10-31kg – masa elektronu E1 = ?
L = 10-10m – średnica atomu wodoru (szerokość studni) E2 = ?
h = 6,63•10-34J•s E3 = ?
Rozwiązanie:
\(E _{1}= \frac{h ^{2} }{8mL ^{2} } \cdot 1 ^{2} \)
\(E _{1}= \frac{(6,63 \cdot 10 ^{-34}J \cdot s) ^{2} }{8 \cdot 9,1 \cdot 10 ^{-31}kg \cdot (10 ^{-10}m) ^{2} } \)
\(E _{1} \approx 0,6 \cdot 10 ^{-17} J \)
Energia na poziomie n jest równa:
\(E _{n}=E _{1} \cdot n ^{2} \) , zatem:
\(E _{2} =0,6 \cdot 10 ^{-17}J \cdot 2 ^{2} =2,4 \cdot 10 ^{-17}J \)
\(E _{3} =0,6 \cdot 10 ^{-17} J \cdot 3 ^{2} =5,4 \cdot 10 ^{-17} J\)