Nieskończona bariera potencjału

Cząstka, która jest uwięziona w nieskończenie głębokiej studni potencjału (tj. jest ze wszystkich stron ograniczona nieskończenie wysokimi barierami potencjału), nie może przeniknąć w obszar klasycznie wzbroniony. Współczynnik transmisji jest w tym przypadku równy zero. Wewnątrz studni fala materii, która jest stowarzyszona z cząstką tworzy falę stojącą, której węzły znajdują się na granicach studni.
Rys. Stojące fale materii stowarzyszone z cząstką uwięzioną w nieskończenie głębokiej studni potencjału.

Jak wynika z przedstawionego rysunku na odcinku równym szerokości studni (L) musi się mieścić całkowita wielokrotność połówek długości fali, zatem:

L=n \frac{ \lambda  _{m} }{2}  \Rightarrow  \lambda  _{m}= \frac{2L}{n}
 
gdzie: n = 1, 2, 3, ….,  λmdługość fali materii.

Zgodnie z hipotezą de Broglie`a długość fali materii jest równa:

 \lambda  _{m}= \frac{h}{p}   \Rightarrow p= \frac{h}{ \lambda  _{m} }
 
gdzie: h – stała Plancka, p – pęd cząstki.

Energia kinetyczna oraz pęd są wielkościami, które zależą jedynie od masy ciała (m) i jego prędkości (v). Są one odpowiednio równe:

E= \frac{mv ^{2} }{2}

p=mv
 
Łącząc ze sobą dwa ostanie równania, otrzymamy relację pomiędzy energią i pędem:

E= \frac{p ^{2} }{2m}
 
Zastępując pęd i długość fali materii odpowiednimi, przedstawionymi wcześniej zależnościami, otrzymamy ostateczny wzór na wartość energii cząstki uwięzionej w nieskończenie głębokiej studni potencjału:

E= \frac{h ^{2} }{ \lambda  _{m} ^{2}  } = \frac{h ^{2} n ^{2} }{4L ^{2}  \cdot 2m}

E _{n}= \frac{h ^{2} }{8mL ^{2} }  \cdot n ^{2}

Otrzymany wynik oznacza, że energia cząstki zamkniętej w nieskończenie głębokiej studni potencjału jest skwantowana tj. nie może przyjmować dowolnych wartości tylko ściśle określone. Możliwe wartości energii nazywane są poziomami energetycznymi. Poziom o najniższej wartości energii (dla n = 1) nazywany jest poziomem lub stanem podstawowym.

Nieskończona bariera potencjału – przykład.

Znajdź trzy pierwsze poziomy energetyczne elektronu uwięzionego w nieskończenie głębokiej studni potencjału o szerokości równej średnicy atomu wodoru.

Dane:                                                                                      Szukane:
m = 9,1•10-31kg – masa elektronu                                             E1 = ?
L = 10-10m – średnica atomu wodoru (szerokość studni)            E2 = ?
h = 6,63•10-34J•s                                                                      E3 = ?

Rozwiązanie:

E _{1}= \frac{h ^{2} }{8mL ^{2} }   \cdot 1 ^{2}

E _{1}= \frac{(6,63 \cdot 10 ^{-34}J \cdot s) ^{2}  }{8 \cdot 9,1 \cdot 10 ^{-31}kg \cdot (10 ^{-10}m) ^{2}   }

E _{1} \approx 0,6 \cdot 10 ^{-17} J
 
Energia na poziomie n jest równa:

E _{n}=E _{1}   \cdot n ^{2}  , zatem:

E _{2} =0,6 \cdot 10 ^{-17}J \cdot 2 ^{2}  =2,4 \cdot 10 ^{-17}J

E _{3} =0,6 \cdot 10 ^{-17} J \cdot 3 ^{2} =5,4 \cdot 10 ^{-17} J

Polecamy również:

  • Skończona bariera potencjału

    Na rysunku przedstawiono cząstkę (i stowarzyszoną z nią falę materii) padającą na skończoną barierę potencjału o szerokości L. Energia całkowita cząstki (E) jest mniejsza od wysokości bariery (V). Więcej »

Komentarze (0)
Wynik działania 4 + 5 =
Ostatnio komentowane
I cóż miał rację Marek Aureliusz który chciał podbić Germanię uderzeniem przez Mor...
• 2024-07-06 19:45:33
"Treść wiersza bezpośrednio nawiązuje też do istniejących wówczas, tajnych układó...
• 2024-07-02 05:43:44
O tym, że zmienne w czasie pole elektryczne jest źródłem pola magnetycznego, napisał ...
• 2024-06-27 07:25:33
ok
• 2024-06-05 13:52:17
nadal nie umiem tego napisać
• 2024-06-04 10:48:42