Twierdzenie o odcinkach stycznych

Jeżeli styczne do okręgu w punktach A i B przecinają się w punkcie P, to |PA| = |PB|

Przykłady:

1) Proste PA, PB, KL są styczne do okręgu odpowiednio w punktach A, B, C (zobacz rysunek obok). Odcinek PA ma długość 10 cm. Oblicz obwód trójkąta PKL. 

Rozwiązanie:
Z twierdzenia o odcinkach stycznych wynika, że |PA| = |PB| i |LC| = |LA| i |KC| = |KB|.
Obwód trójkąta PKL = |PK| + |KL| + |LP| = |PK| + (|KC|+ |CL|) + |LP| = |PK| + |KB| + |LA| + |LP| = (|PK|+ |KB|) + (|AL| + |LP|) = |PB| + |PA| = |PA| + |PA| = 20 cm.

 

2) W trójkąt ABC o bokach długości |AB| = 18, |BC| = 16, |AC| = 10 wpisano okrąg. Oblicz długości odcinków, na jakie punkty styczności podzieliły boki trójkąta.

Rozwiązanie:

Sporządźmy rysunek i wprowadźmy oznaczenia (proste AB, AC i BC są styczne do okręgu, stosujemy twierdzenie o odcinkach stycznych).

Zatem: (1)|AB|= y + z = 18 i (2)|BC| = z + x = 16 i (3)|AC| = x + y = 10.

Wyznaczamy z (1) y = 18 – z; z (2) x = 16 – z i wstawiamy do (3): 16 – z + 18 – z = 10. Obliczamy z = 12, x = 4, y = 6.