Obwód trójkąta, w który wpisany jest okrąg

Oblicz obwód trójkąta, w który wpisano okrąg o promieniu $2$ , a jeden z boków tego trójkąta został podzielony przez punkt styczności okręgu na odcinki o długości $2 \text{ i } 2\sqrt[]{3}$ .

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl

04.07.2020 10:42

Na poniższym rysunku zilustrowana jest treść zadania oraz zaznaczone kąty w trójkącie, które podzielone są odpowiednimi dwusiecznymi.

Aby obliczyć obwód przedstawionego tójkąta, pokażemy, że jest to trójkąt prostokątny o kątach $30^{\circ},\ 60^{\circ},\ 90^{\circ}$ .

Przyjrzyjmy się na początku kątowi $\delta$ . Jest on jednym z kątów trójkąta prostokątnego równoramiennego o boku długości $2$ , zatem ma miarę $45^{\circ}$ . Wynika stąd, że kąt w wierzchołku $C$ jest kątem prostym.

Następnie, wyznaczamy miarę kąta $\xi$ przy wierzchołku $A$ . Jest on jednym z kątów trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $2,\ 2\sqrt[]{3}$ , czyli trójkąta prostokątnego o kątach $30^{\circ},\ 60^{\circ},\ 90^{\circ}$ . Z własności tego trójkąta, wskazujemy $\xi\ =\ 30^{\circ}$ . Wynika stąd, że kąt w wierzchołku $A$ ma miarę $60^{\circ}$ .

Ostatni kąt, przy wierzchołku $B$ musi mieć zatem miarę $30^{\circ}$ .

Pokazaliśmy, że rozważany trójkąt jest szczególnym trójkątem prostokątnym o kątach $30^{\circ},\ 60^{\circ},\ 90^{\circ}$ . Możemy zatem skorzytsać z własności tego trójkąta do wyznaczenia pozostałych jego boków.

Bok $b$ jest jedną z przyprostokątnych, na przeciwko kąta $60^{\circ}$ i ma długość $4\sqrt[]{3}\cdot\ \sqrt[]{3}\ =\ 12$ .