Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Obwód trójkąta, w który wpisany jest okrąg

Oblicz obwód trójkąta, w który wpisano okrąg o promieniu 2, a jeden z boków tego trójkąta został podzielony przez punkt styczności okręgu na odcinki o długości 2 \text{ i } 2\sqrt[]{3}

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl
04.07.2020 10:42

Na poniższym rysunku zilustrowana jest treść zadania oraz zaznaczone kąty w trójkącie, które podzielone są odpowiednimi dwusiecznymi.

Ilustracja zadania

Aby obliczyć obwód przedstawionego tójkąta, pokażemy, że jest to trójkąt prostokątny o kątach 30^{\circ},\ 60^{\circ},\ 90^{\circ}.

Przyjrzyjmy się na początku kątowi \delta. Jest on jednym z kątów trójkąta prostokątnego równoramiennego o boku długości 2, zatem ma miarę 45^{\circ}. Wynika stąd, że kąt w wierzchołku C jest kątem prostym.

Następnie, wyznaczamy miarę kąta \xi przy wierzchołku A. Jest on jednym z kątów trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 2,\ 2\sqrt[]{3}, czyli trójkąta prostokątnego o kątach 30^{\circ},\ 60^{\circ},\ 90^{\circ}. Z własności tego trójkąta, wskazujemy \xi\ =\ 30^{\circ}. Wynika stąd, że kąt w wierzchołku A ma miarę 60^{\circ}

Ostatni kąt, przy wierzchołku B musi mieć zatem miarę 30^{\circ}.


Pokazaliśmy, że rozważany trójkąt jest szczególnym trójkątem prostokątnym o kątach 30^{\circ},\ 60^{\circ},\ 90^{\circ}. Możemy zatem skorzytsać z własności tego trójkąta do wyznaczenia pozostałych jego boków.

Bok b jest jedną z przyprostokątnych, na przeciwko kąta 60^{\circ} i ma długość 4\sqrt[]{3}\cdot\ \sqrt[]{3}\ =\ 12.

Bok a jest przeciwprostokątną tego trójkąta i ma długość 2\ \cdot\ 4\sqrt[]{3}\ =\ 8\sqrt[]{3}.


Ostatecznie obwód trójkąta jest równy

Obw\ =\ 4\sqrt[]{3}\ +\ 12\ +\ 8\sqrt[]{3}\ =\ 12\ +\ 12\sqrt[]{3}.

 

Dzięki! 0
Znasz odpowiedź na to pytanie?
Wynik działania 5 + 3 =
Wszystkie odpowiedzi (0)