Obwód trójkąta, w który wpisany jest okrąg
Oblicz obwód trójkąta, w który wpisano okrąg o promieniu , a jeden z boków tego trójkąta został podzielony przez punkt styczności okręgu na odcinki o długości
.
Odpowiedź eSzkola.pl

Na poniższym rysunku zilustrowana jest treść zadania oraz zaznaczone kąty w trójkącie, które podzielone są odpowiednimi dwusiecznymi.
Aby obliczyć obwód przedstawionego tójkąta, pokażemy, że jest to trójkąt prostokątny o kątach .
Przyjrzyjmy się na początku kątowi . Jest on jednym z kątów trójkąta prostokątnego równoramiennego o boku długości
, zatem ma miarę
. Wynika stąd, że kąt w wierzchołku
jest kątem prostym.
Następnie, wyznaczamy miarę kąta przy wierzchołku
. Jest on jednym z kątów trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych
, czyli trójkąta prostokątnego o kątach
. Z własności tego trójkąta, wskazujemy
. Wynika stąd, że kąt w wierzchołku
ma miarę
.
Ostatni kąt, przy wierzchołku musi mieć zatem miarę
.
Pokazaliśmy, że rozważany trójkąt jest szczególnym trójkątem prostokątnym o kątach . Możemy zatem skorzytsać z własności tego trójkąta do wyznaczenia pozostałych jego boków.
Bok jest jedną z przyprostokątnych, na przeciwko kąta
i ma długość
.
Bok jest przeciwprostokątną tego trójkąta i ma długość
.
Ostatecznie obwód trójkąta jest równy
.