Współrzędne wierzchołka trójkąta wpisanego w okrąg

Odcinek $AB$ , gdzie $A=(-2,1), \ B=(4,1)$ , jest podstawą trójkąta równoramiennego $ABC$ . Okrąg opisany na tym trójkącie ma promień równy $5$ . Wyznacz współrzędne wierzchołka $C$ .

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl

13.07.2020 10:04

Długość odcinka $AB$ wynosi:

$|AB|\ =\ |-2|\ +\ 4\ =6$ .

Okrąg opisany na tym trójkącie może mieć środek wewnątrz tego trójkąta lub poza nim (przypadek, gdy środek znajduje się na jednym z ramion odrzucamy, ponieważ wtedy trójkąt musiałby być prostokątny, środek leżałby na przeciwprostokątnej, czyli na odcinku $AB$ i ten odcinek musiałby mieć długość dwa razy większą niż promień okręgu, czyli $10$ , a to jest sprzeczne z wyznaczoną wyżej miarą).

Środek okegu opisanego na trójkącie jest wyznaczany przez przecięcie symetralnych boków tego trójkąta. Zauważmy zatem, że musi leżeć na prostej $x\ =\ 1$ , która jest symetralną odcinka $AB$ . Dodatkowo wiemy, że musi być odległy od punktów $A\ \text{i}\ B$ o długość promienia, tj. $5$

Obliczamy odległość $d$ , aby wyznaczyć współrzędne środka. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

$3^2\ +\ d^2\ =\ 5^2$

$d\ =\ 4$

Zatem, środek może mieć współrzędne $S\ =\ (1, -3) \text{ lub } S'\ =\ (1, 5)$ .

Wierzchołek $C$ również musi być odległy o $5$ od środka okręgu i również musi leżeć na prostej $x\ =\ 1$ (trójkąt jest równoramienny, więc wierzchołek $C$ jest jednakowo odległy od punktów $A \text{ i } B$ ). Mamy cztery możliwości: