Współrzędne wierzchołka trójkąta wpisanego w okrąg

Odcinek AB, gdzie A=(-2,1), \ B=(4,1), jest podstawą trójkąta równoramiennego ABC. Okrąg opisany na tym trójkącie ma promień równy 5. Wyznacz współrzędne wierzchołka C.

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl
13.07.2020 10:04

Długość odcinka AB wynosi:

|AB|\ =\ |-2|\ +\ 4\ =6.

Okrąg opisany na tym trójkącie może mieć środek wewnątrz tego trójkąta lub poza nim (przypadek, gdy środek znajduje się na jednym z ramion odrzucamy, ponieważ wtedy trójkąt musiałby być prostokątny, środek leżałby na przeciwprostokątnej, czyli na odcinku AB i ten odcinek musiałby mieć długość dwa razy większą niż promień okręgu, czyli 10, a to jest sprzeczne z wyznaczoną wyżej miarą).

Środek okegu opisanego na trójkącie jest wyznaczany przez przecięcie symetralnych boków tego trójkąta. Zauważmy zatem, że musi leżeć na prostej x\ =\ 1, która jest symetralną odcinka AB. Dodatkowo wiemy, że musi być odległy od punktów A\ \text{i}\ B o długość promienia, tj. 5

środek okręgu

Obliczamy odległość d, aby wyznaczyć współrzędne środka. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

3^2\ +\ d^2\ =\ 5^2

d\ =\ 4

Zatem, środek może mieć współrzędne S\ =\ (1, -3) \text{ lub } S'\ =\ (1, 5).


Wierzchołek C również musi być odległy o 5 od środka okręgu i również musi leżeć na prostej x\ =\ 1 (trójkąt jest równoramienny, więc wierzchołek C jest jednakowo odległy od punktów A \text{ i } B). Mamy cztery możliwości:

1^{\circ}\ C\ =\ (1, -3-5)\ =\ (1,-8)

2^{\circ}\ C\ =\ (1, -3+5)\ =\ (1,2)

3^{\circ} \ C\ =\ (1, 5-5)\ =\ (1,0)

4^{\circ} \ C\ =\ (1, 5+5)\ =\ (1, 10)


Dzięki! 0
Znasz odpowiedź na to pytanie?
Wynik działania 2 + 4 =
Wszystkie odpowiedzi (0)

Rozwiąż również: