Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Okrąg wpisany w trójkąt

Jaka jest różnica między promieniem koła wpisanego w trójkąt równoramienny o podstawie 7\text{ cm} i wysokości 3\text{ cm} a promieniem koła wpisanego w trójkąt równoramienny o podstawie 5\text{ cm} i wysokości 2\text{ cm}?

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl
03.07.2020 14:09

Na poniższych rysunkach narysowane są trójkąty o podanych w zadaniu wymiarach wraz z okręgami wpisanymi w te trójkąty.

Trójkąty równoramienny

Aby obliczyć promienie okręgów, skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta, w który wpisany jest okrąg.


Pole trójkąta jest równe iloczynowi połowy obwodu tego trójkąta i promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

 



Na początku wyznaczmy obwody podanych trójkątów. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość ramienia trójkąta.

a) W trójkącie ABC mamy

(3.5)^2 + 3^2 = c^2

21.25 = c^2

c\ =\ \sqrt[]{\frac{85}{4}} = \frac{\sqrt[]{85}}{2}Czyli obwód jest równy

Obw_1\ =\ \sqrt[]{85}\ +\ 7.


b) W trójkącie GHI mamy

(2.5)^2\ +\ 2^2 \ =\ d^2

10.25 = d^2

d=\sqrt[]{\frac{41}{4}}= \frac{\sqrt[]{41}}{2}

Czyli obwód jest równy

Obw_2\ =\ \sqrt[]{41}\ +\ 5.

 



Teraz, z wcześniej wspomnianego twierdzenia, obliczmy promienie okręgów. Oznaczmy przez r_1 promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC, a przez r_2 promień okręgu wpisanego w trójkąt GHI. Otrzymujemy następujące równości

a) P_1\ =\ \frac{Obw_1}{2} \cdot \ r_1

b) P_2\ =\ \frac{Obw_2}{2} \cdot \ r_2


Podstawiamy znane wartości, pole obliczmy z tradycyjnego wzoru na pole trójkąta (połowa iloczynu podstawy i wysokości).

a) 

\frac{1}{2}\cdot \ 7 \cdot \ 3 \ = \frac{\sqrt[]{85}+7}{2} \cdot r_1

r_1 \ =\ \frac{21}{\sqrt[]{85}+7}

b)

\frac{1}{2}\cdot \ 5 \cdot 2 \ =\ \frac{\sqrt[]{41}+5}{2} \cdot \ r_2

r_2\ =\ \frac{10}{\sqrt[]{41} +5}


Pozostało obliczyć różnicę dwóch wyznaczonych promieni

r_1\ -\ r_2\ =\ \frac{21}{\sqrt[]{85}+7}\ -\  \frac{10}{\sqrt[]{41} +5} =  \frac{21(\sqrt[]{85}-7)}{85-49}\ - \ \frac{10(\sqrt[]{41} -\ 5)}{41-25} \

 =\ \frac{21\sqrt[]{85}-147}{36}\ - \ \frac{10\sqrt[]{41} -\ 50}{16}   =\ \frac{7\sqrt[]{85}-49}{12}\ - \ \frac{5\sqrt[]{41} -\ 25}{8}

 =\ \frac{14\sqrt[]{85}-98}{24}\ - \ \frac{15\sqrt[]{41} -\ 75}{24}  =\ \frac{14\sqrt[]{85}\ -\ 15\sqrt[]{41}\ -\ 23}{24}

 

Odp. Różnica promieni okręgów z zadania jest równa \frac{14\sqrt[]{85}\ -\ 15\sqrt[]{41}\ -\ 23}{24}.

Dzięki! 0
Znasz odpowiedź na to pytanie?
Wynik działania 4 + 3 =
Wszystkie odpowiedzi (0)