Okrąg wpisany w trójkąt

Jaka jest różnica między promieniem koła wpisanego w trójkąt równoramienny o podstawie $7\text{ cm}$ i wysokości $3\text{ cm}$ a promieniem koła wpisanego w trójkąt równoramienny o podstawie $5\text{ cm}$ i wysokości $2\text{ cm}$ ?

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl

03.07.2020 14:09

Na poniższych rysunkach narysowane są trójkąty o podanych w zadaniu wymiarach wraz z okręgami wpisanymi w te trójkąty.

Aby obliczyć promienie okręgów, skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta, w który wpisany jest okrąg.

Pole trójkąta jest równe iloczynowi połowy obwodu tego trójkąta i promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Na początku wyznaczmy obwody podanych trójkątów. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość ramienia trójkąta.

a) W trójkącie $ABC$ mamy

$(3.5)^2 + 3^2 = c^2$

$21.25 = c^2$

$c\ =\ \sqrt[]{\frac{85}{4}} = \frac{\sqrt[]{85}}{2}$ Czyli obwód jest równy

$Obw_1\ =\ \sqrt[]{85}\ +\ 7$ .

b) W trójkącie $GHI$ mamy

$(2.5)^2\ +\ 2^2 \ =\ d^2$

$10.25 = d^2$

$d=\sqrt[]{\frac{41}{4}}= \frac{\sqrt[]{41}}{2}$

Czyli obwód jest równy

$Obw_2\ =\ \sqrt[]{41}\ +\ 5$ .

Teraz, z wcześniej wspomnianego twierdzenia, obliczmy promienie okręgów. Oznaczmy przez $r_1$ promień okręgu wpisanego w trójkąt $ABC$ , a przez $r_2$ promień okręgu wpisanego w trójkąt $GHI$ . Otrzymujemy następujące równości