Okrąg wpisany w trapez

Podstawy trapezu prostokątnego mają długości $2 \text{ cm}$ i $4 \text{ cm}$ . W trapez można wpisać okrąg. Oblicz długości ramion tego trapezu.

Liceum Matematyka

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl

13.07.2020 11:28

W czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków tego czworokąta są równe.

Na poniższym rysunku przedstawiony jest szkic trapezu. Długości ramion oznaczone są literami $b, \ c$ i to właśnie te długości musimy obliczyć.

Na początku wyznaczymy z tw. Pitagorasa zależność między długościami ramion:

$b^2\ +\ 2^2\ =\ c^2$

Drugie równanie, do stworzenia układu równań, otrzymamy z twierdzenia zapisanego na samym początku.

$2\ +\ 4\ =\ b\ +\ c$

Rozwiązujemy układ równań.

$\left\{ \begin{array}{ll} b^2\ -\ c^2\ =\ -4 \\ b\ +\ c\ =\ 6\\ \end{array} \right.$

Z drugiego równania wyznaczamy $c$ :

$c\ =\ 6\ -\ b$

i podstawiamy do pierwszego równania.

$b^2\ -\ (6\ -\ b)^2\ =\ -4$

$b^2\ -\ 36\ +\ 12b\ -\ b^2\ =\ -4$

$12b\ =\ 32$

$b\ =\ \frac{8}{3}$

Wracamy do wyznaczenia $c$ :

$c\ =\ 6\ -\ b\ =\ 6\ -\ \frac{8}{3}\ =\ \frac{10}{3}$

Odp. Ramiona trapezu mają długości $\frac{8}{3}\ \text{ cm}$ i $\frac{10}{3} \ \text{ cm}$ .

Dzięki! 0

Znasz odpowiedź na to pytanie?

Wszystkie odpowiedzi (0)

Rozwiąż również: