Okrąg wpisany w trapez

Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 2 \text{ cm} i 4 \text{ cm}. W trapez można wpisać okrąg. Oblicz długości ramion tego trapezu.

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl
13.07.2020 11:28

W czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków tego czworokąta są równe.

Na poniższym rysunku przedstawiony jest szkic trapezu. Długości ramion oznaczone są literami b, \ c i to właśnie te długości musimy obliczyć.

Trapez

Na początku wyznaczymy z tw. Pitagorasa zależność między długościami ramion:

b^2\ +\ 2^2\ =\ c^2

Drugie równanie, do stworzenia układu równań, otrzymamy z twierdzenia zapisanego na samym początku.

2\ +\ 4\ =\ b\ +\ c

Rozwiązujemy układ równań.

\left\{ \begin{array}{ll}
b^2\ -\ c^2\ =\ -4 \\
b\ +\ c\ =\ 6\\
\end{array} \right.

Z drugiego równania wyznaczamy c:

c\ =\ 6\ -\ b

 i podstawiamy do pierwszego równania.

b^2\ -\ (6\ -\ b)^2\ =\ -4

b^2\ -\ 36\ +\ 12b\ -\ b^2\ =\ -4

12b\ =\ 32

b\ =\ \frac{8}{3}

Wracamy do wyznaczenia c:

c\ =\ 6\ -\ b\ =\ 6\ -\ \frac{8}{3}\ =\ \frac{10}{3}

Odp. Ramiona trapezu mają długości \frac{8}{3}\ \text{ cm} i \frac{10}{3} \ \text{ cm}.

Dzięki! 0
Znasz odpowiedź na to pytanie?
Wynik działania 2 + 5 =
Wszystkie odpowiedzi (0)