Zadania tekstowe dotyczące trójkątów prostokątnych wpisanych w okrąg

1. Obwód trójkąta prostokątnego równoramiennego jest równy $6$ . Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

2. Jakie największe pole może mieć trójkąt prostokątny wpisany w okrąg o promieniu $4$ ?

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl

11.07.2020 11:59

1. W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego na nim leży na środku przeciwprostokątnej. Należy zatem wyznaczyć długość przeciwprostokątnej i podzielić ją przez dwa, aby otrzymać promień.

W trójkącie prostokątnym równoramiennym stosunek długości boków wynosi $1\ :\ 1\ :\ \sqrt[]{2}$ . Obliczamy te długości, korzystając z podanego obwodu (długość przyprostokątnej oznaczyliśmy literą $a$ ).

$a\ +\ a\ +\ a\sqrt[]{2}\ =\ 6$

$a(2\ +\ \sqrt[]{2})\ =\ 6$

$a\ =\ \frac{6}{2\ +\ \sqrt[]{2}}\ =\ \frac{6(2\ -\ \sqrt[]{2})}{(2\ +\ \sqrt[]{2})(2\ -\ \sqrt[]{2})}$

$a\ =\ \frac{6(2\ -\ \sqrt[]{2})}{4\ -\ 2}\ =\ 3(2\ -\ \sqrt[]{2})$

Obliczamy długość przeciwprostokątnej, czyli $a\sqrt[]{2}$ .

$a\sqrt[]{2}\ =\ (6\ -\ 3\sqrt[]{2})\sqrt[]{2}\ =\ 6\sqrt[]{2}\ -\ 6$

Promień jest równy połowie przeciwprostokątnej, czyli:

$r\ =\ 3\sqrt[]{2}\ -\ 3$ .

2. Zauważmy, że pole trójkąta zmienia się w zależności od długości wysokości $H$ trójkąta prostokątnego opuszczonej na przeciwprostokątną. Długość przeciwprostokątnej trójkąta wpisanego w okrąg o danym promieniu jest stała, w tym przypadku równa $8$ (dwukrotność długości promienia). Pole wynosi wtedy:

$P=\frac{1}{2}\cdot 8H \ = \ 4H$

Im dłuższa wysokość, tym pole jest większe. Zbadajmy, kiedy wysokość może mieć największą długość. Na poniższym rysunku znajdują się przykładowe trójkąty prostokątne wpisane w ten sam okrąg.

Zauważmy, że długość każdej z zaznaczonych wysokości ( $h_1,\ h_2$ ) jest mniejsza niż długość promienia (wysokość pada pod kątem prostym, tworzy wraz z promieniem okręgu trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej będącej właśnie tym promieniem, a jak wiadomo w trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna jest najdłuższa). W skrajnym przypadku, tzn. jeśli trójkąt jest równoramienny, wysokość pokrywa się z promieniem. To właśnie ten przypadek maksymalizuje wysokość. W takim razie najdłuższa możliwa wysokość wynosi: