Zadania tekstowe dotyczące trójkątów prostokątnych wpisanych w okrąg

1. Obwód trójkąta prostokątnego równoramiennego jest równy 6. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

2. Jakie największe pole może mieć trójkąt prostokątny wpisany w okrąg o promieniu 4?

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Avatar
Aleksandra Ekspert eSzkola.pl
11.07.2020 11:59

1. W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego na nim leży na środku przeciwprostokątnej. Należy zatem wyznaczyć długość przeciwprostokątnej i podzielić ją przez dwa, aby otrzymać promień.

W trójkącie prostokątnym równoramiennym stosunek długości boków wynosi 1\ :\ 1\ :\ \sqrt[]{2}. Obliczamy te długości, korzystając z podanego obwodu (długość przyprostokątnej oznaczyliśmy literą a).

a\ +\ a\ +\ a\sqrt[]{2}\ =\ 6

a(2\ +\ \sqrt[]{2})\ =\ 6

a\ =\ \frac{6}{2\ +\ \sqrt[]{2}}\ =\ \frac{6(2\ -\ \sqrt[]{2})}{(2\ +\ \sqrt[]{2})(2\ -\ \sqrt[]{2})}

a\ =\ \frac{6(2\ -\ \sqrt[]{2})}{4\ -\ 2}\ =\ 3(2\ -\ \sqrt[]{2})

Obliczamy długość przeciwprostokątnej, czyli a\sqrt[]{2}.

a\sqrt[]{2}\ =\ (6\ -\ 3\sqrt[]{2})\sqrt[]{2}\ =\ 6\sqrt[]{2}\ -\ 6

Promień jest równy połowie przeciwprostokątnej, czyli:

r\ =\ 3\sqrt[]{2}\ -\ 3.

 

2. Zauważmy, że pole trójkąta zmienia się w zależności od długości wysokości H trójkąta prostokątnego opuszczonej na przeciwprostokątną. Długość przeciwprostokątnej trójkąta wpisanego w okrąg o danym promieniu jest stała, w tym przypadku równa 8 (dwukrotność długości promienia). Pole wynosi wtedy:

P=\frac{1}{2}\cdot 8H \ = \ 4H

Im dłuższa wysokość, tym pole jest większe. Zbadajmy, kiedy wysokość może mieć największą długość. Na poniższym rysunku znajdują się przykładowe trójkąty prostokątne wpisane w ten sam okrąg. 

Trójkąty prostokątne wpisane w okrąg

Zauważmy, że długość każdej z zaznaczonych wysokości (h_1,\ h_2) jest mniejsza niż długość promienia (wysokość pada pod kątem prostym, tworzy wraz z promieniem okręgu trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej będącej właśnie tym promieniem, a jak wiadomo w trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna jest najdłuższa). W skrajnym przypadku, tzn. jeśli trójkąt jest równoramienny, wysokość pokrywa się z promieniem. To właśnie ten przypadek maksymalizuje wysokość. W takim razie najdłuższa możliwa wysokość wynosi:

H\ =\ r\ =\ 4.

Możemy zatem obliczyć pole trójkąta:

P\ =\ \frac{1}{2}\ \cdot 8\ \cdot 4\ =\ 16

jest ono największe z możliwych.

Dzięki! 0
Znasz odpowiedź na to pytanie?
Wynik działania 2 + 3 =
Wszystkie odpowiedzi (0)

Rozwiąż również: