Łuk to fragment okręgu ograniczony dwoma punktami leżącymi na tym okręgu. Aby znaleźć jego długość należy uwzględnić promień okręgu oraz kąt wyznaczający dany łuk.
Długość tą liczymy zgodnie ze wzorem:
\(L=2 \pi r \cdot \frac{ \alpha }{360 ^{ \circ } } \)
Wzór ten mówi nam tyle, że długość danego łuku równa jest obwodowi danego koła przemnożonemu przez taką część jaką stanowi kąt \( \alpha \) w odniesieniu do \(360 ^{ \circ } \) (a zatem całego okręgu).
Przykład:
Znaleźć długość łuku okręgu o promieniu \(5\) wyznaczonego przez kąt \(180 ^{ \circ } \).
Zwróćmy uwagę, że zadany kąt jest kątem półpełnym a zatem rozważany łuk stanowi połowę obwodu całego koła. Policzmy ten obwód.
\(O _{bw} = 2 \pi r=2 \pi \cdot 5=10 \pi \)
Połowa obwodu to \(5 \pi \) i taka jest też szukana długość łuku.
Przykład:
Jaka jest długość łuku wyznaczonego przez kąt \(30 ^{ \circ } \) na okręgu o promieniu jednostkowym?
\(r = 1\)
\( \alpha =30 ^{ \circ } \)
Podłóżmy dane do wzoru:
\(L=2 \pi r \cdot \frac{ \alpha }{360 ^{ \circ } } = 2 \pi \cdot 1 \cdot \frac{30 ^{ \circ } }{360 ^{ \circ } } =2 \pi \cdot \frac{3}{36} =2 \pi \cdot \frac{1}{12} = \frac{ \pi }{6} \)
Szukana długość łuku to \( \frac{ \pi }{6} \).