Równanie okręgu – wzór, zadania

Okrąg jest zbiorem punktów oddalonych od danego punktu (zwanego środkiem koła) o zadaną odległość.

Równanie opisujące okrąg o środku w punkcie  i promieniu  ma postać 

Przykład:

Napisać równanie okręgu o środku w punkcie  i promieniu .

Przykład:

Wyznaczyć współrzędne środka oraz promień okręgu o równaniu .

Zauważmy na początku, że .

Taka operacja „zwijania” wyrażeń do postaci znanej z wzorów skróconego mnożenia na kwadrat sumy i różnicy zwana jest dopełnianiem wyrażenia do wzoru skróconego mnożenia.

Po tym zabiegu równanie ma postać

Stąd odczytujemy, że środek okręgu ma współrzędne , zaś jego promień długość .

Rozważmy wzajemne położenie dwóch okręgów na płaszczyźnie:

Okręgi mogą nie mieć punktów wspólnych (sytuacje pierwsza i piąta), mieć jeden punkt wspólny (przypadki drugi i czwarty) lub przecinać się i mieć dwa punkty wspólne (sytuacja trzecia).

W przypadku występowania sytuacji drugiej mówimy, że okręgi są styczne zewnętrznie, zaś w przypadku sytuacji czwartej - styczne wewnętrznie.

Przykład:

Zbadać wzajemne położenie okręgów  i .

Po przekształceniu okręgi mają równania  i .

Zauważmy, że odległość między środkami obu okręgów jest równa sumie ich promieni, tzn. .

Zatem okręgi te są styczne zewnętrznie.

Zadanie:

1. Wyznacz współrzędne środka oraz promień okręgu o równaniu .

2. Zbadać wzajemne położenie okręgów , .

Odpowiedzi:

1., . 

2. Okręgi mają dwa punkty wspólne.