Okrąg jest zbiorem punktów oddalonych od danego punktu (zwanego środkiem koła) o zadaną odległość.
Równanie opisujące okrąg o środku w punkcie \(S(x_s,y_s)\) i promieniu \(r\) ma postać \((x-x_s)^2 + (y-y_s)^2 = r^2\)
Przykład:
Napisać równanie okręgu o środku w punkcie \((3,2)\) i promieniu \(4\).
\((x-3)^2+(y-2)^2=4\)
Przykład:
Wyznaczyć współrzędne środka oraz promień okręgu o równaniu \(x^2-2x+y^2-3=0\).
Zauważmy na początku, że \(x^2-2x+1-1=(x-1)^2-1\).
Taka operacja „zwijania” wyrażeń do postaci znanej z wzorów skróconego mnożenia na kwadrat sumy i różnicy zwana jest dopełnianiem wyrażenia do wzoru skróconego mnożenia.
Po tym zabiegu równanie ma postać
\((x-1)^2+y^2=4=2^2\)
Stąd odczytujemy, że środek okręgu ma współrzędne \((1,0)\), zaś jego promień długość \(2\).
Rozważmy wzajemne położenie dwóch okręgów na płaszczyźnie:
Okręgi mogą nie mieć punktów wspólnych (sytuacje pierwsza i piąta), mieć jeden punkt wspólny (przypadki drugi i czwarty) lub przecinać się i mieć dwa punkty wspólne (sytuacja trzecia).
W przypadku występowania sytuacji drugiej mówimy, że okręgi są styczne zewnętrznie, zaś w przypadku sytuacji czwartej - styczne wewnętrznie.
Przykład:
Zbadać wzajemne położenie okręgów \(x^2 + y^2 - 8y+8 = 0\) i \(x^2 + y^2 - 8x+8 = 0\).
Po przekształceniu okręgi mają równania \(x^2 +(y-4)^2=8=2 \sqrt{2} \) i \((x-4)^2 +y^2=8=2 \sqrt{2} \).
Zauważmy, że odległość między środkami obu okręgów jest równa sumie ich promieni, tzn. \(d(S_1,S_2) = \sqrt{4^2+4^2} = 4\sqrt{2} \).
Zatem okręgi te są styczne zewnętrznie.
Zadanie:
1. Wyznacz współrzędne środka oraz promień okręgu o równaniu \(x^2+y^2-3x+4y=0\).
2. Zbadać wzajemne położenie okręgów \(x^2+y^2-4x+8y+11 = 0\), \(x^2+y^2+6x-4y-12=0\).
Odpowiedzi:
1.\(S=(\frac32,-2)\), \(r = \frac52\).
2. Okręgi mają dwa punkty wspólne.