Okrąg jest zbiorem punktów oddalonych od danego punktu (zwanego środkiem koła) o zadaną odległość.
Równanie opisujące okrąg o środku w punkcie i promieniu
ma postać
Przykład:
Napisać równanie okręgu o środku w punkcie i promieniu
.
Przykład:
Wyznaczyć współrzędne środka oraz promień okręgu o równaniu .
Zauważmy na początku, że .
Taka operacja „zwijania” wyrażeń do postaci znanej z wzorów skróconego mnożenia na kwadrat sumy i różnicy zwana jest dopełnianiem wyrażenia do wzoru skróconego mnożenia.
Po tym zabiegu równanie ma postać
Stąd odczytujemy, że środek okręgu ma współrzędne , zaś jego promień długość
.
Rozważmy wzajemne położenie dwóch okręgów na płaszczyźnie:
Okręgi mogą nie mieć punktów wspólnych (sytuacje pierwsza i piąta), mieć jeden punkt wspólny (przypadki drugi i czwarty) lub przecinać się i mieć dwa punkty wspólne (sytuacja trzecia).
W przypadku występowania sytuacji drugiej mówimy, że okręgi są styczne zewnętrznie, zaś w przypadku sytuacji czwartej - styczne wewnętrznie.
Przykład:
Zbadać wzajemne położenie okręgów i
.
Po przekształceniu okręgi mają równania i
.
Zauważmy, że odległość między środkami obu okręgów jest równa sumie ich promieni, tzn. .
Zatem okręgi te są styczne zewnętrznie.
Zadanie:
1. Wyznacz współrzędne środka oraz promień okręgu o równaniu .
2. Zbadać wzajemne położenie okręgów ,
.
Odpowiedzi:
1.,
.
2. Okręgi mają dwa punkty wspólne.