Równanie okręgu – wzór, zadania

Okrąg jest zbiorem punktów oddalonych od danego punktu (zwanego środkiem koła) o zadaną odległość.

Równanie opisujące okrąg o środku w punkcie $S(x_s,y_s)$ i promieniu $r$ ma postać $(x-x_s)^2 + (y-y_s)^2 = r^2$

Przykład:

Napisać równanie okręgu o środku w punkcie $(3,2)$ i promieniu $4$ .

$(x-3)^2+(y-2)^2=4$

Przykład:

Wyznaczyć współrzędne środka oraz promień okręgu o równaniu $x^2-2x+y^2-3=0$ .

Zauważmy na początku, że $x^2-2x+1-1=(x-1)^2-1$ .

Taka operacja „zwijania” wyrażeń do postaci znanej z wzorów skróconego mnożenia na kwadrat sumy i różnicy zwana jest dopełnianiem wyrażenia do wzoru skróconego mnożenia.

Po tym zabiegu równanie ma postać

$(x-1)^2+y^2=4=2^2$

Stąd odczytujemy, że środek okręgu ma współrzędne $(1,0)$ , zaś jego promień długość $2$ .

Rozważmy wzajemne położenie dwóch okręgów na płaszczyźnie:

Okręgi mogą nie mieć punktów wspólnych (sytuacje pierwsza i piąta), mieć jeden punkt wspólny (przypadki drugi i czwarty) lub przecinać się i mieć dwa punkty wspólne (sytuacja trzecia).

W przypadku występowania sytuacji drugiej mówimy, że okręgi są styczne zewnętrznie, zaś w przypadku sytuacji czwartej - styczne wewnętrznie.