Prawo rozpadu promieniotwórczego

Wszystkie rozpady promieniotwórcze zachodzą w sposób spontaniczny i nie da się przewidzieć kiedy dana przemiana jądrowa nastąpi. Powoduje to, że przy opisie zjawisk promieniotwórczych należy posługiwać się metodami statystycznymi, które przy dostatecznie dużej ilości jąder pierwiastków promieniotwórczych pozwalają przewidzieć jaka ich część ulegnie rozpadowi w danym przedziale czasu.
Wszystkie pierwiastki promieniotwórcze charakteryzują się określoną aktywnością promieniotwórczą (A), która informuje o ilości rozpadów (ΔN) w jednostce czasu (Δt). Aktywność promieniotwórcza wyraża się więc wzorem:

\(A= \frac{ \Delta N}{ \Delta t} \)  

Jednostką aktywności promieniotwórczej jest bekerel (1Bq), który jest równy jednemu rozpadowi na sekundę.

Liczne eksperymenty wykazały, że aktywność źródła promieniotwórczego jest proporcjonalna do początkowej liczby jąder oraz maleje wraz z upływem czasu. Relację tą można wyrazić równaniem w postaci:

\(A=A _{0}e ^{- \lambda \cdot t} \) 

gdzie: A₀ – aktywność początkowa, A – aktywność po czasie t, e – podstawa logarytmu naturalnego, λ – stała rozpadu.

Ponieważ aktywność promieniotwórcza jest proporcjonalna do ilości jąder, to ostatnie równanie można również zapisać w postaci:

\(N=N _{0} e ^{- \lambda \cdot t} \) 

gdzie: N- liczba jąder po czasie t, N₀ – początkowa liczba jąder.

Występująca w ostatnich dwóch równaniach stała rozpadu określa prawdopodobieństwo rozpadu danego jądra w jednostce czasu. Jest ona opisana przez funkcję logarytmiczną w postaci:

\( \lambda = \frac{ln2}{T} \)

gdzie:  T – czas połowicznego rozpadu, czyli czas po którym z początkowej liczby jąder pozostanie połowa.

Łącząc ze sobą dwa ostatnie równania i przechodząc do funkcji wykładniczej otrzymamy:
\(N=N _{0} \cdot 2 ^{- \frac{t}{T} } \)  - jest to prawo rozpadu promieniotwórczego.


Rys. Zależność liczby jąder substancji promieniotwórczej od czasu.

Prawo rozpadu promieniotwórczego – przykład.

Czas połowicznego rozpadu pewnej substancji wynosi 570 lat. Po jakim czasie z początkowej liczby jąder zostanie 1/8?

Dane:                                         Szukane:
T = 570 lat                                    t = ?
N = N₀/8

Rozwiązanie:
 
\(N=N _{0} \cdot 2 ^{- \frac{t}{T} } \)

\( \frac{N _{0} }{8} =N _{0} \cdot 2 ^{- \frac{t}{T} } \)

\( \frac{1}{8} =2 ^{- \frac{t}{T} } \)

\(2 ^{-3}=2 ^{- \frac{t}{570lat} } \)

Równanie to jest spełnione, gdy wykładniki potęg są sobie równe, więc:

\(- \frac{t}{570 lat} =-3\)

\(t=3 \cdot 570lat=1710 lat\)