Współrzędne biegunowe

Współrzędne biegunowe są alternatywnym do współrzędnych kartezjańskich sposobem opisu punktów płaszczyzny.

Rozważamy płaszczyznę dwuwymiarową. Początkiem układu współrzędnych (biegunem) jest punkt O. Wyróżniamy także pewną półprostą biorącą swój początek w punkcie O i biegnącą przez punkt S (zwaną dalej półprostą OS). W tym układzie do opisania dowolnego punktu P potrzebujemy dwóch współrzędnych biegunowych:

- promienia r,

- kąta  \varphi .

Promień (promień wodzący) r wyznacza odległość opisywanego punktu od bieguna, a zatem dla punktu P mieć będziemy r=|OP|.

Kąt \varphi (amplituda) opisuje kąt między półprostą OS a wektorem OP.

Współrzędne biegunowe

Aby opis położenia danego punktu był jednoznaczny (tj., aby każdy punkt miał tylko jedną parę współrzędnych go opisujących) przyjmuje się ograniczenia dla kąta \varphi. Najczęściej \varphi \in [0,2  \pi ), choć niekiedy wygodniej jest przyjąć \varphi \in (- \pi,  \pi ] (w dużej mierze zależy to od kontekstu tego co opisujemy).

 

Przejście z układu kartezjańskiego do układu biegunowego

Mając dane współrzędne punktu w kartezjańskim układzie współrzędnych możemy przejść do układu biegunowego w następujący sposób.

Współrzędne biegunowe

Zwróćmy uwagę, że promień wodzący możemy wyrazić korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

r= \sqrt{x^2+y^2} .

Do tego (o ile x  \neq  0 i r \neq  0) z definicji tangensa mamy tg(\varphi )= \frac{y}{x} .

A zatem \varphi=arctg( \frac{y}{x} ), przy czym aby otrzymać wartość \varphi z odpowiedniego przedziału (np.  [0,2  \pi )) należy niekiedy do otrzymanego w ten sposób wyniku dodać  \pi lub 2 \pi.

Przykład:

Znajdziemy współrzędne biegunowe punktów A(3,3) oraz B(-3,3).

Policzmy na początek r_A:

r_A= \sqrt{3^2+3^2} = \sqrt{18} =3 \sqrt{2} - mamy promień wodzący punktu A.

Wyznaczmy teraz jego aplitudę:

\varphi_A=arctg( \frac{3}{3} )=arctg(1)=   \frac{\pi}{4} =45^ \circ  - otrzymaliśmy wartość z przedziału  [0,2  \pi ), więc nie potrzeba dodawać niczego do tego kąta.

A zatem punkt A(3,3) ma współrzędne biegunowe (3 \sqrt{2} , \frac{\pi}{4} ).

Wyznaczymy teraz współrzędne punktu B(-3,3).

r_B= \sqrt{(-3)^2+3^2} = \sqrt{18} =3 \sqrt{2}  - promień wodzący jest identyczny jak w przypadku punktu A, ponieważ punkt B jest jego symetrycznym odbiciem względem osi y, a zatem i odległość od początku układu ma identyczną.

Wyznaczmy aplitudę:

\varphi_B=arctg( \frac{3}{-3} )=arctg(-1)= -  \frac{\pi}{4} =-45^ \circ  - otrzymaliśmy wartość ujemną, a zatem musimy dodać  \pi , tak by dostać wartość z przedziału  [0,2  \pi ).

\varphi_B +  \pi  = -  \frac{\pi}{4} + \pi =  \frac{3 \pi}{4} - taka jest amplituda punktu B.

A zatem punkt B(-3,3) ma współrzędne biegunowe (3 \sqrt{2} , \frac{3\pi}{4} ).

 

Przejście z układu biegunowego do układu kartezjańskiego

Aby dokonać przejścia w drugą stronę posłużymy się następującymi wzorami:

x=r\cos\varphi

y=r\sin\varphi

Uzasadnienie tych wzorów przeprowadźmy w oparciu o rysunek:

Współrzędne biegunowe

Cosinus kąta \varphi możemy wyrazić jako  \frac{x}{r} , a zatem \cos\varphi= \frac{x}{r} . Przekształcając tą równość na x otrzymamy właśnie podany powyżej wzór (x=r\cos\varphi).

Podobnie w przypadku sinusa kąta \varphi\sin\varphi= \frac{y}{r} przekształcimy na y=r\sin\varphi.

Przykład:

Sprawdźmy, że współrzędne wyznaczone w poprzednim przykładzie przeprowadzą nas ponownie na punkty A i B, od których zaczęliśmy.

Punkt A ma współrzędne biegunowe (3 \sqrt{2} , \frac{\pi}{4} ), zatem r_A=3 \sqrt{2} oraz \varphi_A= \frac{\pi}{4} .

Policzmy x i y:

x=r_A\cos\varphi_A=3 \sqrt{2} \cos( \frac{\pi}{4} )=3 \sqrt{2}  \cdot  \frac{ \sqrt{2} }{2} =
3

y=r_A\sin\varphi_A=3 \sqrt{2} \sin( \frac{\pi}{4} )=3 \sqrt{2}  \cdot  \frac{ \sqrt{2} }{2} =
3

A zatem w istocie A ma współrzędne kartezjańskie (3,3).

Sprawdźmy dla punktu B.

Punkt ten ma współrzędne biegunowe (3 \sqrt{2} , \frac{3\pi}{4} ), więc r_B=3 \sqrt{2} oraz \varphi_B= \frac{3\pi}{4} .

Wyznaczmy x i y:

x=r_B\cos\varphi_B=3 \sqrt{2} \cos( \frac{3\pi}{4} )=3 \sqrt{2}  \cdot  \frac{- \sqrt{2} }{2} =
-3

y=r_B\sin\varphi_B=3 \sqrt{2} \sin( \frac{3\pi}{4} )=3 \sqrt{2}  \cdot  \frac{ \sqrt{2} }{2} =
3

Tak więc B=(-3,3).

Polecamy również:

  • Współrzędne sferyczne

    Współrzędne sferyczne są alternatywnym względem współrzędnych kartezjańskich sposobem opisu położenia punktów w przestrzeni trójwymiarowej... Więcej »

Komentarze (0)
Wynik działania 4 + 5 =
Ostatnio komentowane
7
• 2022-10-06 16:22:08
a
• 2022-10-06 14:58:01
1Tm 3:15 "Gdybym jednak się opóźniał, będziesz już wiedział, jak należy zachowywa...
• 2022-10-03 20:33:03
Super
• 2022-10-03 17:32:47
Przydały mi się te choroby
• 2022-10-02 10:10:41