Współrzędne biegunowe są alternatywnym do współrzędnych kartezjańskich sposobem opisu punktów płaszczyzny.
Rozważamy płaszczyznę dwuwymiarową. Początkiem układu współrzędnych (biegunem) jest punkt \(O\). Wyróżniamy także pewną półprostą biorącą swój początek w punkcie \(O\) i biegnącą przez punkt \(S\) (zwaną dalej półprostą \(OS\)). W tym układzie do opisania dowolnego punktu \(P\) potrzebujemy dwóch współrzędnych biegunowych:
- promienia \(r\),
- kąta \( \varphi \).
Promień (promień wodzący) \(r\) wyznacza odległość opisywanego punktu od bieguna, a zatem dla punktu \(P\) mieć będziemy \(r=|OP|\).
Kąt \(\varphi\) (amplituda) opisuje kąt między półprostą \(OS\) a wektorem \(OP\).
Aby opis położenia danego punktu był jednoznaczny (tj., aby każdy punkt miał tylko jedną parę współrzędnych go opisujących) przyjmuje się ograniczenia dla kąta \(\varphi\). Najczęściej \(\varphi \in [0,2 \pi )\), choć niekiedy wygodniej jest przyjąć \(\varphi \in (- \pi, \pi ]\) (w dużej mierze zależy to od kontekstu tego co opisujemy).
Przejście z układu kartezjańskiego do układu biegunowego
Mając dane współrzędne punktu w kartezjańskim układzie współrzędnych możemy przejść do układu biegunowego w następujący sposób.
Zwróćmy uwagę, że promień wodzący możemy wyrazić korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
\(r= \sqrt{x^2+y^2} \).
Do tego (o ile \(x \neq 0\) i \(r \neq 0\)) z definicji tangensa mamy \(tg(\varphi )= \frac{y}{x} \).
A zatem \(\varphi=arctg( \frac{y}{x} )\), przy czym aby otrzymać wartość \(\varphi \) z odpowiedniego przedziału (np. \( [0,2 \pi )\)) należy niekiedy do otrzymanego w ten sposób wyniku dodać \( \pi \) lub \(2 \pi\).
Przykład:
Znajdziemy współrzędne biegunowe punktów \(A(3,3)\) oraz \(B(-3,3)\).
Policzmy na początek \(r_A\):
\(r_A= \sqrt{3^2+3^2} = \sqrt{18} =3 \sqrt{2} \) - mamy promień wodzący punktu \(A\).
Wyznaczmy teraz jego aplitudę:
\(\varphi_A=arctg( \frac{3}{3} )=arctg(1)= \frac{\pi}{4} =45^ \circ \) - otrzymaliśmy wartość z przedziału \( [0,2 \pi )\), więc nie potrzeba dodawać niczego do tego kąta.
A zatem punkt \(A(3,3)\) ma współrzędne biegunowe \((3 \sqrt{2} , \frac{\pi}{4} )\).
Wyznaczymy teraz współrzędne punktu \(B(-3,3)\).
\(r_B= \sqrt{(-3)^2+3^2} = \sqrt{18} =3 \sqrt{2} \) - promień wodzący jest identyczny jak w przypadku punktu \(A\), ponieważ punkt \(B\) jest jego symetrycznym odbiciem względem osi \(y\), a zatem i odległość od początku układu ma identyczną.
Wyznaczmy aplitudę:
\(\varphi_B=arctg( \frac{3}{-3} )=arctg(-1)= - \frac{\pi}{4} =-45^ \circ \) - otrzymaliśmy wartość ujemną, a zatem musimy dodać \( \pi \), tak by dostać wartość z przedziału \( [0,2 \pi )\).
\(\varphi_B + \pi = - \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3 \pi}{4} \) - taka jest amplituda punktu \(B\).
A zatem punkt \(B(-3,3)\) ma współrzędne biegunowe \((3 \sqrt{2} , \frac{3\pi}{4} )\).
Przejście z układu biegunowego do układu kartezjańskiego
Aby dokonać przejścia w drugą stronę posłużymy się następującymi wzorami:
\(x=r\cos\varphi\)
\(y=r\sin\varphi\)
Uzasadnienie tych wzorów przeprowadźmy w oparciu o rysunek:
Cosinus kąta \(\varphi\) możemy wyrazić jako \( \frac{x}{r} \), a zatem \(\cos\varphi= \frac{x}{r} \). Przekształcając tą równość na \(x\) otrzymamy właśnie podany powyżej wzór (\(x=r\cos\varphi\)).
Podobnie w przypadku sinusa kąta \(\varphi\): \(\sin\varphi= \frac{y}{r} \) przekształcimy na \(y=r\sin\varphi\).
Przykład:
Sprawdźmy, że współrzędne wyznaczone w poprzednim przykładzie przeprowadzą nas ponownie na punkty \(A\) i \(B\), od których zaczęliśmy.
Punkt \(A\) ma współrzędne biegunowe \((3 \sqrt{2} , \frac{\pi}{4} )\), zatem \(r_A=3 \sqrt{2} \) oraz \(\varphi_A= \frac{\pi}{4} \).
Policzmy \(x\) i \(y\):
\(x=r_A\cos\varphi_A=3 \sqrt{2} \cos( \frac{\pi}{4} )=3 \sqrt{2} \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} = 3\)
\(y=r_A\sin\varphi_A=3 \sqrt{2} \sin( \frac{\pi}{4} )=3 \sqrt{2} \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} = 3\)
A zatem w istocie \(A\) ma współrzędne kartezjańskie \((3,3)\).
Sprawdźmy dla punktu \(B\).
Punkt ten ma współrzędne biegunowe \((3 \sqrt{2} , \frac{3\pi}{4} )\), więc \(r_B=3 \sqrt{2} \) oraz \(\varphi_B= \frac{3\pi}{4} \).
Wyznaczmy \(x\) i \(y\):
\(x=r_B\cos\varphi_B=3 \sqrt{2} \cos( \frac{3\pi}{4} )=3 \sqrt{2} \cdot \frac{- \sqrt{2} }{2} = -3\)
\(y=r_B\sin\varphi_B=3 \sqrt{2} \sin( \frac{3\pi}{4} )=3 \sqrt{2} \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} = 3\)
Tak więc \(B=(-3,3)\).