Współrzędne biegunowe

Współrzędne biegunowe są alternatywnym do współrzędnych kartezjańskich sposobem opisu punktów płaszczyzny.

Rozważamy płaszczyznę dwuwymiarową. Początkiem układu współrzędnych (biegunem) jest punkt $O$ . Wyróżniamy także pewną półprostą biorącą swój początek w punkcie $O$ i biegnącą przez punkt $S$ (zwaną dalej półprostą $OS$ ). W tym układzie do opisania dowolnego punktu $P$ potrzebujemy dwóch współrzędnych biegunowych:

- promienia $r$ ,

- kąta $\varphi$ .

Promień (promień wodzący) $r$ wyznacza odległość opisywanego punktu od bieguna, a zatem dla punktu $P$ mieć będziemy $r=|OP|$ .

Kąt $\varphi$ (amplituda) opisuje kąt między półprostą $OS$ a wektorem $OP$ .

Współrzędne biegunowe

Aby opis położenia danego punktu był jednoznaczny (tj., aby każdy punkt miał tylko jedną parę współrzędnych go opisujących) przyjmuje się ograniczenia dla kąta $\varphi$ . Najczęściej $\varphi \in [0,2 \pi )$ , choć niekiedy wygodniej jest przyjąć $\varphi \in (- \pi, \pi ]$ (w dużej mierze zależy to od kontekstu tego co opisujemy).

Przejście z układu kartezjańskiego do układu biegunowego

Mając dane współrzędne punktu w kartezjańskim układzie współrzędnych możemy przejść do układu biegunowego w następujący sposób.

Współrzędne biegunowe

Zwróćmy uwagę, że promień wodzący możemy wyrazić korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$r= \sqrt{x^2+y^2}$ .

Do tego (o ile $x \neq 0$ i $r \neq 0$ ) z definicji tangensa mamy $tg(\varphi )= \frac{y}{x}$ .

A zatem $\varphi=arctg( \frac{y}{x} )$ , przy czym aby otrzymać wartość $\varphi$ z odpowiedniego przedziału (np. $[0,2 \pi )$ ) należy niekiedy do otrzymanego w ten sposób wyniku dodać $\pi$ lub $2 \pi$ .

Przykład:

Znajdziemy współrzędne biegunowe punktów $A(3,3)$ oraz $B(-3,3)$ .

Policzmy na początek $r_A$ :

$r_A= \sqrt{3^2+3^2} = \sqrt{18} =3 \sqrt{2}$ - mamy promień wodzący punktu $A$ .

Wyznaczmy teraz jego aplitudę:

$\varphi_A=arctg( \frac{3}{3} )=arctg(1)= \frac{\pi}{4} =45^ \circ$ - otrzymaliśmy wartość z przedziału $[0,2 \pi )$ , więc nie potrzeba dodawać niczego do tego kąta.

A zatem punkt $A(3,3)$ ma współrzędne biegunowe $(3 \sqrt{2} , \frac{\pi}{4} )$ .

Wyznaczymy teraz współrzędne punktu $B(-3,3)$ .

$r_B= \sqrt{(-3)^2+3^2} = \sqrt{18} =3 \sqrt{2}$ - promień wodzący jest identyczny jak w przypadku punktu $A$ , ponieważ punkt $B$ jest jego symetrycznym odbiciem względem osi $y$ , a zatem i odległość od początku układu ma identyczną.

Wyznaczmy aplitudę:

$\varphi_B=arctg( \frac{3}{-3} )=arctg(-1)= - \frac{\pi}{4} =-45^ \circ$ - otrzymaliśmy wartość ujemną, a zatem musimy dodać $\pi$ , tak by dostać wartość z przedziału $[0,2 \pi )$ .

$\varphi_B + \pi = - \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3 \pi}{4}$ - taka jest amplituda punktu $B$ .

A zatem punkt $B(-3,3)$ ma współrzędne biegunowe $(3 \sqrt{2} , \frac{3\pi}{4} )$ .

Przejście z układu biegunowego do układu kartezjańskiego

Aby dokonać przejścia w drugą stronę posłużymy się następującymi wzorami:

$x=r\cos\varphi$

$y=r\sin\varphi$

Uzasadnienie tych wzorów przeprowadźmy w oparciu o rysunek:

Współrzędne biegunowe

Cosinus kąta $\varphi$ możemy wyrazić jako $\frac{x}{r}$ , a zatem $\cos\varphi= \frac{x}{r}$ . Przekształcając tą równość na $x$ otrzymamy właśnie podany powyżej wzór ( $x=r\cos\varphi$ ).

Podobnie w przypadku sinusa kąta $\varphi$ : $\sin\varphi= \frac{y}{r}$ przekształcimy na $y=r\sin\varphi$ .

Przykład:

Sprawdźmy, że współrzędne wyznaczone w poprzednim przykładzie przeprowadzą nas ponownie na punkty $A$ i $B$ , od których zaczęliśmy.

Punkt $A$ ma współrzędne biegunowe $(3 \sqrt{2} , \frac{\pi}{4} )$ , zatem $r_A=3 \sqrt{2}$ oraz $\varphi_A= \frac{\pi}{4}$ .

Policzmy $x$ i $y$ :

$x=r_A\cos\varphi_A=3 \sqrt{2} \cos( \frac{\pi}{4} )=3 \sqrt{2} \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} = 3$

$y=r_A\sin\varphi_A=3 \sqrt{2} \sin( \frac{\pi}{4} )=3 \sqrt{2} \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} = 3$

A zatem w istocie $A$ ma współrzędne kartezjańskie $(3,3)$ .

Sprawdźmy dla punktu $B$ .

Punkt ten ma współrzędne biegunowe $(3 \sqrt{2} , \frac{3\pi}{4} )$ , więc $r_B=3 \sqrt{2}$ oraz $\varphi_B= \frac{3\pi}{4}$ .

Wyznaczmy $x$ i $y$ :

$x=r_B\cos\varphi_B=3 \sqrt{2} \cos( \frac{3\pi}{4} )=3 \sqrt{2} \cdot \frac{- \sqrt{2} }{2} = -3$

$y=r_B\sin\varphi_B=3 \sqrt{2} \sin( \frac{3\pi}{4} )=3 \sqrt{2} \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} = 3$

Tak więc $B=(-3,3)$ .

Polecamy również:

Współrzędne sferyczne

Współrzędne sferyczne są alternatywnym względem współrzędnych kartezjańskich sposobem opisu położenia punktów w przestrzeni trójwymiarowej... Więcej »

Komentarze (0)

Współrzędne biegunowe

Przykład:

Przykład:

Polecamy również:

Zobacz również

Współrzędne sferyczne

Losowe zadania

Wyrazy podstawowe i pochodne

Kąty w trójkącie

Zapoznaj się z opisem pewnego pierwiastka i podaj jego nazwę

Dzielniki liczb

Porosty