Współrzędne biegunowe są alternatywnym do współrzędnych kartezjańskich sposobem opisu punktów płaszczyzny.
Rozważamy płaszczyznę dwuwymiarową. Początkiem układu współrzędnych (biegunem) jest punkt . Wyróżniamy także pewną półprostą biorącą swój początek w punkcie
i biegnącą przez punkt
(zwaną dalej półprostą
). W tym układzie do opisania dowolnego punktu
potrzebujemy dwóch współrzędnych biegunowych:
- promienia ,
- kąta .
Promień (promień wodzący) wyznacza odległość opisywanego punktu od bieguna, a zatem dla punktu
mieć będziemy
.
Kąt (amplituda) opisuje kąt między półprostą
a wektorem
.
Aby opis położenia danego punktu był jednoznaczny (tj., aby każdy punkt miał tylko jedną parę współrzędnych go opisujących) przyjmuje się ograniczenia dla kąta . Najczęściej
, choć niekiedy wygodniej jest przyjąć
(w dużej mierze zależy to od kontekstu tego co opisujemy).
Przejście z układu kartezjańskiego do układu biegunowego
Mając dane współrzędne punktu w kartezjańskim układzie współrzędnych możemy przejść do układu biegunowego w następujący sposób.
Zwróćmy uwagę, że promień wodzący możemy wyrazić korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
.
Do tego (o ile i
) z definicji tangensa mamy
.
A zatem , przy czym aby otrzymać wartość
z odpowiedniego przedziału (np.
) należy niekiedy do otrzymanego w ten sposób wyniku dodać
lub
.
Przykład:
Znajdziemy współrzędne biegunowe punktów oraz
.
Policzmy na początek :
- mamy promień wodzący punktu
.
Wyznaczmy teraz jego aplitudę:
- otrzymaliśmy wartość z przedziału
, więc nie potrzeba dodawać niczego do tego kąta.
A zatem punkt ma współrzędne biegunowe
.
Wyznaczymy teraz współrzędne punktu .
- promień wodzący jest identyczny jak w przypadku punktu
, ponieważ punkt
jest jego symetrycznym odbiciem względem osi
, a zatem i odległość od początku układu ma identyczną.
Wyznaczmy aplitudę:
- otrzymaliśmy wartość ujemną, a zatem musimy dodać
, tak by dostać wartość z przedziału
.
- taka jest amplituda punktu
.
A zatem punkt ma współrzędne biegunowe
.
Przejście z układu biegunowego do układu kartezjańskiego
Aby dokonać przejścia w drugą stronę posłużymy się następującymi wzorami:
Uzasadnienie tych wzorów przeprowadźmy w oparciu o rysunek:
Cosinus kąta możemy wyrazić jako
, a zatem
. Przekształcając tą równość na
otrzymamy właśnie podany powyżej wzór (
).
Podobnie w przypadku sinusa kąta :
przekształcimy na
.
Przykład:
Sprawdźmy, że współrzędne wyznaczone w poprzednim przykładzie przeprowadzą nas ponownie na punkty i
, od których zaczęliśmy.
Punkt ma współrzędne biegunowe
, zatem
oraz
.
Policzmy i
:
A zatem w istocie ma współrzędne kartezjańskie
.
Sprawdźmy dla punktu .
Punkt ten ma współrzędne biegunowe , więc
oraz
.
Wyznaczmy i
:
Tak więc .