Współrzędne biegunowe

Współrzędne biegunowe są alternatywnym do współrzędnych kartezjańskich sposobem opisu punktów płaszczyzny.

Rozważamy płaszczyznę dwuwymiarową. Początkiem układu współrzędnych (biegunem) jest punkt O. Wyróżniamy także pewną półprostą biorącą swój początek w punkcie O i biegnącą przez punkt S (zwaną dalej półprostą OS). W tym układzie do opisania dowolnego punktu P potrzebujemy dwóch współrzędnych biegunowych:

- promienia r,

- kąta  \varphi .

Promień (promień wodzący) r wyznacza odległość opisywanego punktu od bieguna, a zatem dla punktu P mieć będziemy r=|OP|.

Kąt \varphi (amplituda) opisuje kąt między półprostą OS a wektorem OP.

Współrzędne biegunowe

Aby opis położenia danego punktu był jednoznaczny (tj., aby każdy punkt miał tylko jedną parę współrzędnych go opisujących) przyjmuje się ograniczenia dla kąta \varphi. Najczęściej \varphi \in [0,2  \pi ), choć niekiedy wygodniej jest przyjąć \varphi \in (- \pi,  \pi ] (w dużej mierze zależy to od kontekstu tego co opisujemy).

 

Przejście z układu kartezjańskiego do układu biegunowego

Mając dane współrzędne punktu w kartezjańskim układzie współrzędnych możemy przejść do układu biegunowego w następujący sposób.

Współrzędne biegunowe

Zwróćmy uwagę, że promień wodzący możemy wyrazić korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

r= \sqrt{x^2+y^2} .

Do tego (o ile x  \neq  0 i r \neq  0) z definicji tangensa mamy tg(\varphi )= \frac{y}{x} .

A zatem \varphi=arctg( \frac{y}{x} ), przy

Polecamy również:

  • Współrzędne sferyczne

    Współrzędne sferyczne są alternatywnym względem współrzędnych kartezjańskich sposobem opisu położenia punktów w przestrzeni trójwymiarowej... Więcej »

Komentarze (0)
Wynik działania 1 + 3 =
Ostatnio komentowane
Dziekuje
MajMos • 2021-10-20 14:36:02
Dziękuję :)
:) • 2021-10-19 17:04:53
po jakiego uda ktoś to wymyślał
czarnypjes • 2021-10-17 16:53:04
doobry artykuł
Jan Marcalik • 2021-10-15 16:22:46
@12345 - dziękujemy za zauważenie błędu, został już poprawiony. Pozdrawiamy :)
ADMIN • 2021-10-15 09:57:56