Współrzędne sferyczne są alternatywnym względem współrzędnych kartezjańskich sposobem opisu położenia punktów w przestrzeni trójwymiarowej. W systemie tym położenie każdego punktu opisuje się za pomocą długości promienia (opisującego jego odległość od początku układu) oraz dwóch kątów.
Chcemy opisać położenie punktu \(P\) w przestrzeni trójwymiarowej. Początek układu współrzędnych oznaczamy tradycyjnie \(O\). W odniesieniu do tego punktu definiujemy trzy pozostałe współrzędne:
- promień \(r\) (promień wodzący) - opisujący odległość punktu \(P\) od punktu \(O\),
- kąt \( \phi \) (czyt. fi) - kąt pomiędzy rzutem punktu \(P\) na płaszczyznę wyznaczoną przez osie \(x\) i \(y\), a osią \(x\), a zatem kąt pomiędzy rzutem prostokątnym wektora \(OP\) na płaszczyznę \(OXY\) a osią \(OX\), \( \phi \in [0,2\pi)\)
- kąt \(\theta\) (czyt. theta) - kąt między wektorem \(OP\) a osią \(OZ\) w trójwymiarowym układzie współrzędnych, \( \theta \in [0,2\pi)\).
Przejście z układu kartezjańskiego do układu biegunowego
Aby znaleźć współrzędne punktu \(P(x,y,z)\) w układzie biegunowym wznaczamy:
\(r= \sqrt{x^2+y^2+z^2} \).
\(\theta=arctg( \frac{z}{r} )\).
\( \phi = \arccos\frac{x}{ \sqrt{x^2+y^2} } \) lub równoważnie \( \phi = \arcsin\frac{y}{ \sqrt{x^2+y^2} } \).
Przejście z układu biegunowego do układu kartezjańskiego
Dla trzech współrzędnych \(x\), \(y\), \(z\) układu kartezjańskiego możemy określić transformację w następujący sposób:
\(x=r\sin(\theta)\cos( \phi )\).
\(y=r\sin(\theta)\sin( \phi )\).
\(z=\cos( \phi )\).