Współrzędne sferyczne

Współrzędne sferyczne są alternatywnym względem współrzędnych kartezjańskich sposobem opisu położenia punktów w przestrzeni trójwymiarowej. W systemie tym położenie każdego punktu opisuje się za pomocą długości promienia (opisującego jego odległość od początku układu) oraz dwóch kątów.

Chcemy opisać położenie punktu P w przestrzeni trójwymiarowej. Początek układu współrzędnych oznaczamy tradycyjnie O. W odniesieniu do tego punktu definiujemy trzy pozostałe współrzędne:

- promień r (promień wodzący) - opisujący odległość punktu P od punktu O,

- kąt  \phi (czyt. fi) - kąt pomiędzy rzutem punktu P na płaszczyznę wyznaczoną przez osie x i y, a osią x, a zatem kąt pomiędzy rzutem prostokątnym wektora OP na płaszczyznę OXY a osią OX,  \phi \in [0,2\pi)

- kąt \theta (czyt. theta) - kąt między wektorem OP a osią OZ w trójwymiarowym układzie współrzędnych,  \theta \in [0,2\pi).

Współrzędne sferyczne

 

Przejście z układu kartezjańskiego do układu biegunowego

Aby znaleźć współrzędne punktu P(x,y,z) w układzie biegunowym wznaczamy:

r= \sqrt{x^2+y^2+z^2} .

\theta=arctg( \frac{z}{r} ).

 \phi = \arccos\frac{x}{ \sqrt{x^2+y^2} } lub równoważnie  \phi = \arcsin\frac{y}{ \sqrt{x^2+y^2} } .


 

Przejście z układu biegunowego do układu kartezjańskiego

Dla trzech współrzędnych x, y, z układu kartezjańskiego możemy określić transformację w następujący sposób:

x=r\sin(\theta)\cos( \phi ).

y=r\sin(\theta)\sin( \phi ).

z=\cos( \phi ).

Polecamy również:

Komentarze (1)
Wynik działania 1 + 2 =
Bigflip
2024-02-09 15:20:31
jest błąd, na oko theta to nie arctg(z/r), tylko arcsin(z/r)
Ostatnio komentowane
I cóż miał rację Marek Aureliusz który chciał podbić Germanię uderzeniem przez Mor...
• 2024-07-06 19:45:33
"Treść wiersza bezpośrednio nawiązuje też do istniejących wówczas, tajnych układó...
• 2024-07-02 05:43:44
O tym, że zmienne w czasie pole elektryczne jest źródłem pola magnetycznego, napisał ...
• 2024-06-27 07:25:33
ok
• 2024-06-05 13:52:17
nadal nie umiem tego napisać
• 2024-06-04 10:48:42