Strona główna

/

Matematyka

/

Współrzędne sferyczne

Współrzędne sferyczne

Współrzędne sferyczne są alternatywnym względem współrzędnych kartezjańskich sposobem opisu położenia punktów w przestrzeni trójwymiarowej. W systemie tym położenie każdego punktu opisuje się za pomocą długości promienia (opisującego jego odległość od początku układu) oraz dwóch kątów.

Chcemy opisać położenie punktu $P$ w przestrzeni trójwymiarowej. Początek układu współrzędnych oznaczamy tradycyjnie $O$ . W odniesieniu do tego punktu definiujemy trzy pozostałe współrzędne:

- promień $r$ (promień wodzący) - opisujący odległość punktu $P$ od punktu $O$ ,

- kąt $\phi$ (czyt. fi) - kąt pomiędzy rzutem punktu $P$ na płaszczyznę wyznaczoną przez osie $x$ i $y$ , a osią $x$ , a zatem kąt pomiędzy rzutem prostokątnym wektora $OP$ na płaszczyznę $OXY$ a osią $OX$ , $\phi \in [0,2\pi)$

- kąt $\theta$ (czyt. theta) - kąt między wektorem $OP$ a osią $OZ$ w trójwymiarowym układzie współrzędnych, $\theta \in [0,2\pi)$ .

Współrzędne sferyczne

Przejście z układu kartezjańskiego do układu biegunowego

Aby znaleźć współrzędne punktu $P(x,y,z)$ w układzie biegunowym wznaczamy:

$r= \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ .

$\theta=arctg( \frac{z}{r} )$ .

$\phi = \arccos\frac{x}{ \sqrt{x^2+y^2} }$ lub równoważnie $\phi = \arcsin\frac{y}{ \sqrt{x^2+y^2} }$ .

Przejście z układu biegunowego do układu kartezjańskiego

Dla trzech współrzędnych $x$ , $y$ , $z$ układu kartezjańskiego możemy określić transformację w następujący sposób:

$x=r\sin(\theta)\cos( \phi )$ .

$y=r\sin(\theta)\sin( \phi )$ .

$z=\cos( \phi )$ .

Polecamy również:

Współrzędne biegunowe

Współrzędne biegunowe są alternatywnym do współrzędnych kartezjańskich sposobem opisu punktów płaszczyzny... Więcej »

Zobacz również

Współrzędne biegunowe
Więcej

Losowe zadania

Komentarze (1)

Bigflip

2024-02-09 15:20:31

jest błąd, na oko theta to nie arctg(z/r), tylko arcsin(z/r)